Uma roda homogênea de massa M e raio R está suspensa por uma corda que se desenrola à medida que um bloco de massa m desce. Determine a aceleração do bloco e a aceleração angular da roda.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: temos uma roda homogênea (tipo um disco) de massa I = 12 M R^2 e raio pendurada por uma corda que se desenrola quando um bloco de massa desce. A gente quer achar a aceleração do bloco e a aceleração angular da roda.
Conteúdo envolvido:
  • Segunda lei de Newton para a massa (dinâmica linear).
  • Segunda lei de Newton para rotação (torque e momento de inércia).
  • Relação sem deslizamento entre aceleração linear e angular: .
    Vamos precisar do momento de inércia de um disco homogêneo:

Passo 2

Começando pela massa m g - T = m a :
A gente escolhe para ela como positivo para baixo. Tem duas forças: o peso para baixo e a tensão da corda para cima. Pela segunda lei de Newton ( ):
Isso é porque tenta descer e puxa para cima.

Passo 3

Agora a roda. Ela gira sob a ação da tensão tau = T times R , que provoca um torque T , R = I,alpha em relação ao centro:
a = alpha , R Longrightarrow alpha = aR
Pela segunda lei de Newton para rotação ( ):
E como não há deslizamento da corda, a aceleração linear da corda (que é a do bloco) e a aceleração angular da roda são ligadas por

Passo 4

Substitui T,R = l(tfrac12 M R^2r),aR Longrightarrow T,R = tfrac12 M R,a Longrightarrow T = 12 M a e na equação do torque:

Passo 5

Agora voltamos na equação do bloco m g - l(tfrac12 M ar) = m a Longrightarrow m g = m a + 12 M a Longrightarrow m g = l(m + tfrac12 Mr),a e substituímos a = m gm + tfrac12 M :
Isolando :

Passo 6

Pra achar alpha = 1R,m gm + tfrac12 M = m gR,l(m + tfrac12 Mr) , usa :

Resposta

A aceleração do bloco é
boxeda = m g,m + tfrac12 M,
e a aceleração angular da roda é
boxedalpha = m g,R,(m + tfrac12 M),

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