Uma roda parte do repouso com uma aceleração angular dada por alpha(t)=(6,0 rad / s 4) t 2. O tempo que a roda leva para completar 10 revoluções é
a) 4,0 s.
b) 3,3 s.
c) 2,8 s.
d) nenhuma alternativa.
e) 2,1 s.
f) 1,3 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma roda que começa a girar do zero e acelera de forma que a aceleração angular depende do tempo, especificamente alpha(t) = 6,0, rad/s^4 cdot t^2. A gente precisa descobrir quanto tempo essa roda leva para completar 10 voltas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade angular e deslocamento angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a aceleração angular alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular omega(t). Como a roda parte do repouso, a velocidade inicial é zero, ou seja, omega0 = 0.
A relação entre aceleração angular e velocidade angular é dada por:
omega(t) = omega0 + integral alpha(t) , dt

Passo 3

Vamos calcular a velocidade angular omega(t) integrando a aceleração angular:
omega(t) = 0 + integral 6,0, t^2 , dt = 6,0 cdot t^33 = 2,0, t^3
Então, a velocidade angular é omega(t) = 2,0, t^3, rad/s.

Passo 4

Agora, para encontrar o deslocamento angular theta(t), que nos diz quantas voltas a roda deu, integramos a velocidade angular:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral 2,0, t^3 , dt = 2,0 cdot t^44 = 0,5, t^4
Então, o deslocamento angular é theta(t) = 0,5, t^4, rad.

Passo 5

Sabemos que 1 volta completa corresponde a 2pi radianos. Como queremos 10 voltas, o deslocamento total será:
theta = 10 cdot 2pi = 20pi, rad

Passo 6

Agora, igualamos o deslocamento angular calculado com o deslocamento necessário para 10 voltas:
0,5, t^4 = 20pi
Resolvendo para t:
t^4 = 20pi0,5 = 40pi
t = raiz[4]40pi

Passo 7

Vamos calcular o valor numérico:
40pi approx 40 times 3,1416 = 125,664
t = raiz[4]125,664 approx 2,8, s

Resposta

A roda leva aproximadamente 2,8 segundos para completar 10 voltas. Portanto, a resposta correta é a letra c) 2,8 s.

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