Uma roda com um raio de 51 cm rola, sem escorregar, em um piso horizontal. No instante t1, o ponto
pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda descreveu meia revolução. Determine o módulo do vetor deslocamento
, em
, do ponto
em relação ao piso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma roda de raio 51 cm rolando sem escorregar num piso horizontal. No tempo t₁, um ponto P na borda da roda está tocando o chão. Depois, no tempo t₂, a roda fez meia volta. Precisamos descobrir qual é o deslocamento desse ponto P em relação ao chão, em metros. Para isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados ao movimento de rotação sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a roda rolar sem escorregar. Quando isso acontece, a distância que o centro da roda se desloca é igual ao comprimento do arco que a roda percorre. Como a roda fez meia revolução, o comprimento do arco é metade da circunferência da roda.
A fórmula da circunferência é:
Onde:
- $ C $ é a circunferência
- $ r $ é o raio
Como a roda fez meia volta, a distância que o centro se moveu é:
Passo 3
Vamos agora determinar as posições inicial e final do ponto P.
-
Posição Inicial (t₁): O ponto P está tocando o chão, então suas coordenadas são (0, 0).
-
Posição Final (t₂): Após meia revolução, o ponto P está na parte superior da roda. O centro da roda se deslocou para frente uma distância $ \pi r
\pi r $, $ r $). Como P está no topo, adicionamos mais $ r $ na coordenada y. Assim, as coordenadas finais de P são:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o vetor deslocamento $ \vec{d} $ do ponto P. O vetor deslocamento vai da posição inicial (0, 0) até a posição final ($ \pi r $, $ 2r $).
A magnitude desse vetor é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
Simplificando:
Substituindo o valor do raio $ r = 0,51 $ m:
Resposta
O módulo do vetor deslocamento $ \vec{d} $ do ponto P em relação ao piso é aproximadamente 1,90 metros.