(Rosen 1.1.27) Construa a tabela da verdade para cada uma das proposições compostas abaixo.
(Rosen 1.1.27, item (e)) (p \rightarrow q) \leftrightarrow(\neg q \rightarrow \neg p)

Passo 1

O enunciado pede a tabela-verdade da proposição composta
(p \to q)\leftrightarrow(\neg q\to\neg p).
O conteúdo aqui é a construção de tabela-verdade usando as definições de implicação e equivalência lógica.

Passo 2

Vamos listar as subfórmulas necessárias:
  1. p\to q – é falsa só quando p for verdadeira e q falsa.
  2. \neg q e \neg p.
  3. \neg q\to\neg p – é falsa só quando \neg q for verdadeira e \neg p falsa.
  4. (p\to q)\leftrightarrow(\neg q\to\neg p) – é verdadeira quando as duas partes tiverem o mesmo valor lógico.

Passo 3

Preenchemos a tabela-verdade considerando todas as combinações de p e q:
p q p\to q \neg q \neg p \neg q\to\neg p (p\to q)\leftrightarrow(\neg q\to\neg p)
\text{T} \text{T} \text{T} \text{F} \text{F} \text{T} \text{T}
\text{T} \text{F} \text{F} \text{T} \text{F} \text{F} \text{T}
\text{F} \text{T} \text{T} \text{F} \text{T} \text{T} \text{T}
\text{F} \text{F} \text{T} \text{T} \text{T} \text{T} \text{T}

Resposta

A tabela-verdade de
(p \to q)\leftrightarrow(\neg q\to\neg p)
é a mostrada acima. Note que a última coluna é sempre verdadeira, logo a fórmula é uma tautologia.

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