A rota usada por um motorista a caminho do trabalho tem dois cruzamentos com semáforos. A probabilidade de que ele tenha que parar no primeiro semáforo é de 0,4 ; a probabilidade análoga para o segundo semáforo é de 0,5 . A probabilidade de que ele tenha que parar em pelo menos um dos dois semáforos é 0,6 . Qual é a probabilidade de ele ter que parar (atenção: não temos informação sobre independência dos eventos):
(a) Nos dois semáforos? (R: 0,3 )
(b) Somente no primeiro semáforo? (R: 0,1 )
(c) Em exatamente um semáforo? (R: 0,3 )

Passo 1

O enunciado define dois eventos na rota do motorista:
A = parar no primeiro semáforo com P(A)=0,4 B = parar no segundo semáforo com P(B)=0,5
e informa a probabilidade de parar em pelo menos um deles:
P(Acup B)=0,6
Queremos calcular:
(a) P(Acap B) – parar em ambos;
(b) P(Acap B^c) – parar somente no primeiro;
(c) probabilidade de parar em exatamente um semáforo.

Passo 2

Usamos a fórmula de inclusão-exclusão para a união de dois eventos:
P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B)
Isolando P(Acap B):
P(Acap B)=P(A)+P(B)-P(Acup B) =0,4+0,5-0,6=0,3

Passo 3

Para parar somente no primeiro semáforo consideramos o evento Acap B^c. Vale a relação
P(Acap B^c)=P(A)-P(Acap B) =0,4-0,3=0,1

Passo 4

A probabilidade de parar em exatamente um semáforo é a soma de parar só no primeiro e só no segundo:
P(exatamente um)=P(Acap B^c)+P(A^ccap B)
Já temos P(Acap B^c)=0,1. Então
P(A^ccap B)=P(B)-P(Acap B)=0,5-0,3=0,2
e
P(exatamente um)=0,1+0,2=0,3

Resposta

(a) 0,3
(b) 0,1
(c) 0,3

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