3 (6 pts) Uma companhia possui três máquinas para produzir um produto: a máquina A, responsável p produção de 40 % dos produtos, a máquina B, que produz 50 % e a máquina C que produz 10 % dos produtos taxa de defeitos para a máquina A é de 4 %; para a máquina B é de 2 % e para a máquina C é de 10 %.
a) Qual a probabilidade de um produto defeituoso ser fabricado?
b) Se um produto com defeito é observado, qual a probabilidade de ter sido produzi máquina C?

Passo 1

Vamos resumir a questão: uma companhia tem três máquinas (A, B e C) que produzem 40%, 50% e 10% dos produtos, respectivamente. As taxas de defeito são 4% para a máquina A, 2% para a máquina B e 10% para a máquina C. Vamos usar conceitos de Probabilidade Total e Teorema de Bayes para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar a probabilidade de um produto ser defeituoso. Para isso, usamos a fórmula da Probabilidade Total, que soma as probabilidades de defeito de cada máquina multiplicadas pela probabilidade de um produto vir de cada máquina.
P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C)

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos:
P(D) = 0,04 times 0,40 + 0,02 times 0,50 + 0,10 times 0,10
P(D) = 0,016 + 0,01 + 0,01 = 0,036

Passo 4

Portanto, a probabilidade de um produto ser defeituoso é de 3,6%.

Passo 5

Parte b) Agora, queremos saber a probabilidade de que, dado um produto defeituoso, ele tenha sido produzido pela máquina C. Para isso, usamos o Teorema de Bayes.
P(C|D) = P(D|C)P(C)P(D)

Passo 6

Substituindo os valores que já calculamos e os fornecidos:
P(C|D) = 0,10 times 0,100,036
P(C|D) = 0,010,036 approx 0,2778

Passo 7

Assim, a probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela máquina C é de aproximadamente 27,78%.

Resposta

a) A probabilidade de um produto defeituoso ser fabricado é 3,6%.
b) A probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela máquina C é aproximadamente 27,78%.

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