3 (6 pts) Uma companhia possui três máquinas para produzir um produto: a máquina
, responsável
produção de
dos produtos, a máquina
, que produz
e a máquina
que produz
dos produtos taxa de defeitos para a máquina
é de
; para a máquina
é de
e para a máquina
é de
.
a) Qual a probabilidade de um produto defeituoso ser fabricado?
b) Se um produto com defeito é observado, qual a probabilidade de ter sido produzi máquina C?
a) Qual a probabilidade de um produto defeituoso ser fabricado?
b) Se um produto com defeito é observado, qual a probabilidade de ter sido produzi máquina C?
Passo 1
Vamos resumir a questão: uma companhia tem três máquinas (A, B e C) que produzem 40%, 50% e 10% dos produtos, respectivamente. As taxas de defeito são 4% para a máquina A, 2% para a máquina B e 10% para a máquina C. Vamos usar conceitos de Probabilidade Total e Teorema de Bayes para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Parte a) Queremos encontrar a probabilidade de um produto ser defeituoso. Para isso, usamos a fórmula da Probabilidade Total, que soma as probabilidades de defeito de cada máquina multiplicadas pela probabilidade de um produto vir de cada máquina.
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Portanto, a probabilidade de um produto ser defeituoso é de 3,6%.
Passo 5
Parte b) Agora, queremos saber a probabilidade de que, dado um produto defeituoso, ele tenha sido produzido pela máquina C. Para isso, usamos o Teorema de Bayes.
Passo 6
Substituindo os valores que já calculamos e os fornecidos:
Passo 7
Assim, a probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela máquina C é de aproximadamente 27,78%.
Resposta
a) A probabilidade de um produto defeituoso ser fabricado é
.
b) A probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido pela máquina C é aproximadamente
.