A rotação da molécula de HI pode ser imaginada como o movimento orbital do átomo de H à distância de 160 pm do átomo de I estacionário. Qual o comprimento de onda de um fóton que deve ser absorvido pela molécula para efetuar a transição entre os estados rotacionais com l=2 e l=3 \mathrm{se} \mathrm{o} isótopo presente do hidrogênio é o deutério (M=2,014 \mathrm{u}) ? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pergunta: encontrar o comprimento de onda do fóton absorvido pela molécula na transição rotacional entre os níveis com l=2 e l=3.
  • Dados fornecidos:
    • Distância entre os átomos (braço do rotor): r = 160\\ \mathrm{pm}.
    • O átomo de hidrogênio é o deutério, com massa M = 2,014\\ \mathrm{u}.
    • O átomo de Iodo é considerado estacionário (ou seja, podemos tratar o momento de inércia usando apenas a massa do deutério).
  • Objetivo numérico: obter o comprimento de onda \lambda do fóton que corresponde à diferença de energia entre os níveis l=3 e l=2.

Passo 2

Conceito físico: níveis de energia de um rotor rígido e a fórmula que vamos usar.
  • Modelo: a rotação da molécula pode ser aproximada por um rotor rígido com momento de inércia I e níveis quantizados de momento angular.
  • Fórmula dos níveis rotacionais (rotor rígido, momentos angular quânticos l=0,1,2,\dots):
E_l = \frac{\hbar^2}{2I}\,l(l+1),
onde:
  • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar = h/(2\pi)),
  • I é o momento de inércia do rotor.
  • Explicando: cada nível tem energia proporcional a l(l+1). A diferença entre dois níveis dá a energia do fóton absorvido/emisso.

Passo 3

Expressar a energia do fóton para a transição l=2 \to l=3.
  • Diferença de energia:
\Delta E = E_{3} - E_{2} = \frac{\hbar^2}{2I}\big[3(3+1) - 2(2+1)\big].
  • Calcular o parêntese:
3(4) - 2(3) = 12 - 6 = 6.
  • Portanto:
\Delta E = \frac{\hbar^2}{2I}\cdot 6 = \frac{3\hbar^2}{I}.
Essa é a expressão que relaciona a energia do fóton com o momento de inércia I.

Passo 4

Momento de inércia I: como calcular e conversão de unidades.
  • Para o caso em que o iodo é tratado como fixo, o momento de inércia é dado por
I = m_{\text{D}}\,r^2,
onde m_{\text{D}} é a massa do deutério e r a distância (braço do rotor).
  • Converter massa do deutério de unidades atômicas para kg:
    • 1\\ \mathrm{u} = 1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    • Então
    m_{\text{D}} = 2,014\\ \mathrm{u} = 2,014\times 1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    • Multiplicando:
    m_{\text{D}} \approx 3,344325680\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Converter r para metros e calcular I.
  • Converter r:
r = 160\\ \mathrm{pm} = 160\times10^{-12}\\ \mathrm{m} = 1,60\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular r^2:
r^2 = (1,60\times10^{-10})^2 = 2,56\times10^{-20}\\ \mathrm{m}^2.
  • Agora o momento de inércia:
I = m_{\text{D}}\,r^2 \approx (3,344325680\times10^{-27})(2,56\times10^{-20})\\ \mathrm{kg\,m^2}.
  • Multiplicando:
I \approx 8,56147374\times10^{-47}\\ \mathrm{kg\,m^2}.

Passo 6

Calcular a energia da transição \Delta E.
  • Constante \hbar:
\hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Calcular \hbar^2:
\hbar^2 \approx (1,054571817\times10^{-34})^2 \approx 1,112121\times10^{-68}\\ \mathrm{J^2\,s^2}.
  • Usar \Delta E = \dfrac{3\hbar^2}{I}:
\Delta E \approx \frac{3\times 1,112121\times10^{-68}}{8,56147374\times10^{-47}}\\ \mathrm{J}.
  • Fazer a divisão:
\Delta E \approx 3,896\times10^{-22}\\ \mathrm{J}.
  • (Só para intuição: em elétron-volts, usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, isso é \approx 2,43\times10^{-3}\\ \mathrm{eV}. É uma energia típica de micro-ondas/infravermelho longo.)

Passo 7

Converter a energia do fóton para comprimento de onda \lambda.
  • Relação entre energia e comprimento de onda:
E = \frac{hc}{\lambda}\quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{hc}{E},
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz.
  • Valores numéricos:
    • h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
    • c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Produto hc:
    hc \approx 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
  • Então
\lambda = \frac{1,98644586\times10^{-25}}{3,896\times10^{-22}}\\ \mathrm{m}.
  • Fazendo a divisão:
\lambda \approx 5,10\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades práticas:
\lambda \approx 510\\ \mu\mathrm{m}.
Isso mostra que a transição é na região do infravermelho longo / micro-ondas (onda muito longa).

Passo 8

Resumo final e comentário rápido de incentivo.
  • Chegamos ao valor numérico do comprimento de onda do fóton necessário para a transição l=2\to l=3 para HI com deutério.
  • Tá indo bem — rotações moleculares normalmente dão comprimentos de onda bem grandes (infravermelho/micro-ondas). Se precisar, posso mostrar o mesmo cálculo com o iodo não fixo (usando massa reduzida) para comparar — mas a diferença será pequena porque o iodo é muito mais pesado.

Resposta

\lambda = 5,10\times10^{-4}\\ \mathrm{m}
\lambda = 510\\ \mu\mathrm{m}

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