A rotação da molécula de HI pode ser imaginada como o movimento orbital do átomo de H à distância de 160 pm do átomo de I estacionário. Qual o comprimento de onda de um fóton que deve ser absorvido pela molécula para efetuar a transição entre os estados rotacionais com
e
isótopo presente do hidrogênio é o deutério
? ( 2,0 pontos)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pergunta: encontrar o comprimento de onda do fóton absorvido pela molécula na transição rotacional entre os níveis com
e . - Dados fornecidos:
- Distância entre os átomos (braço do rotor):
. - O átomo de hidrogênio é o deutério, com massa
. - O átomo de Iodo é considerado estacionário (ou seja, podemos tratar o momento de inércia usando apenas a massa do deutério).
- Distância entre os átomos (braço do rotor):
- Objetivo numérico: obter o comprimento de onda
do fóton que corresponde à diferença de energia entre os níveis e .
Passo 2
Conceito físico: níveis de energia de um rotor rígido e a fórmula que vamos usar.
- Modelo: a rotação da molécula pode ser aproximada por um rotor rígido com momento de inércia
e níveis quantizados de momento angular. - Fórmula dos níveis rotacionais (rotor rígido, momentos angular quânticos
):
onde:
-
é a constante de Planck reduzida ( ), -
é o momento de inércia do rotor. - Explicando: cada nível tem energia proporcional a
. A diferença entre dois níveis dá a energia do fóton absorvido/emisso.
Passo 3
Expressar a energia do fóton para a transição
.
- Diferença de energia:
- Calcular o parêntese:
- Portanto:
Essa é a expressão que relaciona a energia do fóton com o momento de inércia
.
Passo 4
Momento de inércia
: como calcular e conversão de unidades.
- Para o caso em que o iodo é tratado como fixo, o momento de inércia é dado por
onde
é a massa do deutério e
a distância (braço do rotor).
- Converter massa do deutério de unidades atômicas para kg:
-
. - Então
- Multiplicando:
-
Passo 5
Converter
para metros e calcular
.
- Converter
:
- Calcular
:
- Agora o momento de inércia:
- Multiplicando:
Passo 6
Calcular a energia da transição
.
- Constante
:
- Calcular
:
- Usar
:
- Fazer a divisão:
- (Só para intuição: em elétron-volts, usando
, isso é . É uma energia típica de micro-ondas/infravermelho longo.)
Passo 7
Converter a energia do fóton para comprimento de onda
.
- Relação entre energia e comprimento de onda:
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz.
- Valores numéricos:
-
. -
. - Produto
:
-
- Então
- Fazendo a divisão:
- Em unidades práticas:
Isso mostra que a transição é na região do infravermelho longo / micro-ondas (onda muito longa).
Passo 8
Resumo final e comentário rápido de incentivo.
- Chegamos ao valor numérico do comprimento de onda do fóton necessário para a transição
para HI com deutério. - Tá indo bem — rotações moleculares normalmente dão comprimentos de onda bem grandes (infravermelho/micro-ondas). Se precisar, posso mostrar o mesmo cálculo com o iodo não fixo (usando massa reduzida) para comparar — mas a diferença será pequena porque o iodo é muito mais pesado.