Determine se a série
) converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - Não há indicação de soma parcial ou valor numérico final; só precisamos decidir convergência/divergência.
- Os termos
são positivos para todo (pois ).
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: racionalizar a diferença para obter uma forma mais manejável. Multiplicamos e dividimos por
:
Essa identidade é ótima porque transforma a diferença em uma fração simples que facilita comparar com séries conhecidas.
Passo 3
Vou usar o teste da comparação por limites (limit comparison test), porque é direto quando sabemos a ordem assintótica dos termos. Vou explicar o teste rapidinho:
- Seja
o termo da série que queremos analisar e seja um termo de referência positivo. Se
existe com
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui a escolha natural é (a série harmônica
é conhecida por divergir), porque heurística e a forma racionalizada sugerem que
é da ordem de
.
Aqui a escolha natural é
Passo 4
Calculo o limite necessário para aplicar o teste da comparação por limites:
Então
Divido numerador e denominador por
para ver o comportamento quando
:
Ao fazer
temos
, portanto
O limite é
, um número positivo e finito.
Passo 5
Pelo teste da comparação por limites, porque
a série
tem o mesmo comportamento da série harmônica
. Como a série harmônica diverge, concluímos que a série original também diverge.
Passo 6
(Comentário alternativo, só para reforçar — não é necessário para a resposta final.) Uma comparação direta também funciona: para
vale
, então
Como
para
, segue
. Logo
e, pelo comparativo com
, a série diverge também por essa via.
Resposta
A série diverge.