Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)) converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n^{2}+1}-n\right)
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n.
  • Não há indicação de soma parcial ou valor numérico final; só precisamos decidir convergência/divergência.
  • Os termos a_{n} são positivos para todo n\ge 1 (pois \sqrt{n^{2}+1}>n).

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: racionalizar a diferença para obter uma forma mais manejável. Multiplicamos e dividimos por \sqrt{n^{2}+1}+n:
\sqrt{n^{2}+1}-n = \frac{(\sqrt{n^{2}+1}-n)(\sqrt{n^{2}+1}+n)}{\sqrt{n^{2}+1}+n} = \frac{n^{2}+1-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+1}+n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}.
Essa identidade é ótima porque transforma a diferença em uma fração simples que facilita comparar com séries conhecidas.

Passo 3

Vou usar o teste da comparação por limites (limit comparison test), porque é direto quando sabemos a ordem assintótica dos termos. Vou explicar o teste rapidinho:
  • Seja a_{n} o termo da série que queremos analisar e seja b_{n} um termo de referência positivo. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = L
existe com 0<L<\infty, então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui a escolha natural é b_{n}=\dfrac{1}{n} (a série harmônica \sum 1/n é conhecida por divergir), porque heurística e a forma racionalizada sugerem que a_n é da ordem de 1/n.

Passo 4

Calculo o limite necessário para aplicar o teste da comparação por limites:
a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}.
Então
\frac{a_{n}}{1/n} = n\cdot a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}+n}.
Divido numerador e denominador por n para ver o comportamento quando n\to\infty:
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+1}.
Ao fazer n\to\infty temos \frac{1}{n^{2}}\to 0, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{1/n} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
O limite é L=\dfrac{1}{2}, um número positivo e finito.

Passo 5

Pelo teste da comparação por limites, porque
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{1/n}=\frac{1}{2}\in(0,\infty),
a série \sum a_{n} tem o mesmo comportamento da série harmônica \sum \dfrac{1}{n}. Como a série harmônica diverge, concluímos que a série original também diverge.

Passo 6

(Comentário alternativo, só para reforçar — não é necessário para a resposta final.) Uma comparação direta também funciona: para n\ge 1 vale \sqrt{n^{2}+1}<n+1, então
a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}>\frac{1}{2n+1}.
Como 2n+1\le 3n para n\ge 1, segue \dfrac{1}{2n+1}\ge \dfrac{1}{3n}. Logo a_{n}>\dfrac{1}{3n} e, pelo comparativo com \sum \dfrac{1}{n}, a série diverge também por essa via.

Resposta

A série diverge.

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