(4,0) Responda os itens abaixo:
Qual da dimensão do espaço [(1,-2,1),(2,1,-1),(7,-4,1)] ?

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço gerado pelos vetores \,(1,-2,1),\,(2,1,-1),\,(7,-4,1)\,.
Informações dadas:
v_1=(1,-2,1),\qquad v_2=(2,1,-1),\qquad v_3=(7,-4,1).
A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}?

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (com calma): a dimensão do espaço gerado por vetores é o número de vetores em uma base desse espaço — ou equivalentemente, o posto (rank) do conjunto de vetores. No caso de três vetores em \mathbb{R}^3, o posto pode ser 0,1,2 ou 3. Uma forma rápida de testar se três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (posto 3) é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Se o determinante for diferente de zero, são independentes e a dimensão é 3. Se o determinante for zero, então há dependência linear e o posto é menor que 3; aí precisamos verificar se o posto é 2 ou 1.

Passo 3

Formo a matriz A com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 7\\[4pt] -2 & 1 & -4\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Vou calcular o determinante de A usando a primeira linha (regra de Sarrus / desenvolvimento por co-fatores):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -4\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} +7\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Agora calculo os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & -4\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-4)\cdot(-1)=1-4=-3,
\det\begin{pmatrix}-2 & -4\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-2)\cdot1-(-4)\cdot1=-2-(-4)=2,
\det\begin{pmatrix}-2 & 1\\[2pt]1 & -1\end{pmatrix}=(-2)\cdot(-1)-1\cdot1=2-1=1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot(-3)-2\cdot(2)+7\cdot(1)=-3-4+7=0.
Como \det(A)=0, os três vetores são linearmente dependentes e o posto é menor que 3.]

Passo 4

Como não temos posto 3, restam as possibilidades posto 2 ou posto 1. Para ser posto 1 todos os vetores teriam que ser múltiplos entre si (ou todos nulos). Verifico se v_2 é múltiplo de v_1: se existisse \lambda tal que v_2=\lambda v_1, então pelas componentes teríamos \lambda=2 pela primeira componente ( 2= \lambda\cdot1) e pela segunda componente 1=\lambda\cdot(-2) implicaria 1=-4, contradição. Logo v_1 e v_2 não são múltiplos; portanto já sabemos que pelo menos dois vetores são linearmente independentes e o posto é pelo menos 2. Concluímos que o posto é 2.

Passo 5

Para ficar ainda mais claro, mostro explicitamente que v_3\) é combinação linear de \(v_1\) e \(v_2\). Procuro \(a,b\) tais que \[a\,v_1+b\,v_2=v_3.
Escrevendo por componentes:
\begin{cases} a+2b=7,\\[4pt] -2a+b=-4,\\[4pt] a-b=1. \end{cases}
Da terceira equação vem a=1+b\]. Substituo na primeira: \[(1+b)+2b=7 \implies 1+3b=7 \implies 3b=6 \implies b=2.\] Então \(a=1+b=3. Verifico na segunda equação:
-2a+b=-2\cdot3+2=-6+2=-4,
que bate certinho. Logo
v_3=3\,v_1+2\,v_2,
o que confirma que v_3 não adiciona dimensão nova ao espaço gerado por v_1 e v_2. Portanto \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} e a dimensão é 2.]

Resposta

2

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