A pergunta é: qual é a dimensão do subespaço \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}?
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (com calma): a dimensão do espaço gerado por vetores é o número de vetores em uma base desse espaço — ou equivalentemente, o posto (rank) do conjunto de vetores. No caso de três vetores em \mathbb{R}^3, o posto pode ser 0,1,2 ou 3. Uma forma rápida de testar se três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes (posto 3) é calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas. Se o determinante for diferente de zero, são independentes e a dimensão é 3. Se o determinante for zero, então há dependência linear e o posto é menor que 3; aí precisamos verificar se o posto é 2 ou 1.
Como \det(A)=0, os três vetores são linearmente dependentes e o posto é menor que 3.]
Passo 4
Como não temos posto 3, restam as possibilidades posto 2 ou posto 1. Para ser posto 1 todos os vetores teriam que ser múltiplos entre si (ou todos nulos). Verifico se v_2 é múltiplo de v_1: se existisse \lambda tal que v_2=\lambda v_1, então pelas componentes teríamos \lambda=2 pela primeira componente (2= \lambda\cdot1) e pela segunda componente 1=\lambda\cdot(-2) implicaria 1=-4, contradição. Logo v_1 e v_2 não são múltiplos; portanto já sabemos que pelo menos dois vetores são linearmente independentes e o posto é pelo menos 2. Concluímos que o posto é 2.
Passo 5
Para ficar ainda mais claro, mostro explicitamente que v_3\) é combinação linear de \(v_1\) e \(v_2\). Procuro \(a,b\) tais que
\[a\,v_1+b\,v_2=v_3.
Da terceira equação vem a=1+b\]. Substituo na primeira:
\[(1+b)+2b=7 \implies 1+3b=7 \implies 3b=6 \implies b=2.\]
Então \(a=1+b=3. Verifico na segunda equação:
-2a+b=-2\cdot3+2=-6+2=-4,
que bate certinho. Logo
v_3=3\,v_1+2\,v_2,
o que confirma que v_3 não adiciona dimensão nova ao espaço gerado por v_1 e v_2. Portanto \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} e a dimensão é 2.]