Rubídio ( 85,47 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) é um metal que tem uma estrutura cúbica de corpo centrado. A densidade do metal é 1,532 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. A partir dessas informações, calcule: (a) o comprimento da aresta da célula unitária; 570 pm (b) o raio de um átomo de rubídio. 247 pm

Passo 1

O enunciado diz que o rubídio cristaliza em estrutura cúbica de corpo centrado (bcc), cuja densidade é \rho=1,532,g/c m^{3} e massa molar M=85,47,g/mol. Em bcc há n=2 átomos por cela unitária. Para achar o comprimento da aresta precisamos relacionar massa, volume e densidade da cela, usando a constante de Avogadro N_A.

Passo 2

Calculamos a massa de uma cela unitária, m_c, que é a massa de n átomos:
m_c = \frac{n\,M}{N_A}
Substituindo n=2, M=85,47,g/mol e N_A=6,022\times10^{23},mol ^{-1}, temos
m_c = \frac{2\times85,47}{6,022\times10^{23}}\\ \mathrm{g} \approx2,84\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 3

A partir da definição de densidade,
\rho = \frac{m_c}{V_c} \quad\Longrightarrow\quad V_c = \frac{m_c}{\rho}.
Logo,
V_c = \frac{2,84\times10^{-22}\,\mathrm{g}}{1,532\,\mathrm{g/cm^3}} \approx1,85\times10^{-22}\,\mathrm{cm^3}.
Como a cela é cúbica, o comprimento da aresta a é a raiz cúbica de V_c:
a = \sqrt[3]{V_c} \approx\sqrt[3]{1,85\times10^{-22}}\\ \mathrm{cm} \approx5,70\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Convertendo para picômetros ( 1\\ \mathrm{cm}=10^{10}\\ \mathrm{pm}):
a = 5,70\times10^{-8}\times10^{10}\\ \mathrm{pm} =570\\ \mathrm{pm}.

Passo 4

Em bcc os átomos encostam-se ao longo da diagonal do cubo, de modo que
4\,r = \sqrt{3}\,a \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a.
Substituindo a=570,pm e \sqrt{3}\approx1,732:
r = \frac{1,732}{4}\times570\\ \mathrm{pm} \approx247\\ \mathrm{pm}.

Resposta

(a) a = 570\\ \mathrm{pm}
(b) r = 247\\ \mathrm{pm}

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