Você recebe uma pequena amostra de um metal X cuja densidade é 10,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Por difração de raio X determina-se que a medida do raio é 1,446 Á e o arranjo cúbico de face centrada. Identifique X. (Ag)

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de metal X com densidade \rho = 10{,}5\\ \mathrm{g/cm^3}, raio atômico r = 1{,}446\,\text{\AA} e estrutura cúbica de faces centradas (fcc). Precisamos usar a relação entre r e a aresta a da cela unitária, o número de átomos por cela e a fórmula da densidade para identificar o elemento.

Passo 2

Numa estrutura fcc há n=4 átomos por cela unitária, e os átomos se tocam ao longo da diagonal da face. Assim, a relação entre o raio atômico r e a aresta a é
4r = a\sqrt{2}
ou seja
a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.

Passo 3

Substituindo r = 1{,}446\,\text{\AA} = 1{,}446\times10^{-8}\,\mathrm{cm} na expressão de a:
a = 2\sqrt{2}\times 1{,}446\times10^{-8}\,\mathrm{cm} \approx 4{,}091\times10^{-8}\,\mathrm{cm}.

Passo 4

O volume da cela unitária é
V_c = a^3 \approx \bigl(4{,}091\times10^{-8}\bigr)^3\,\mathrm{cm^3} \approx 6{,}847\times10^{-23}\,\mathrm{cm^3}.
A densidade é dada por
\rho = \frac{n\,M}{N_A\,V_c},
onde M é a massa molar do elemento, N_A é a constante de Avogadro. Isolando M:
M = \frac{\rho\,N_A\,V_c}{n}.

Passo 5

Usando \rho = 10{,}5\\ \mathrm{g/cm^3}, N_A = 6{,}022\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} e n=4:
M = \frac{10{,}5 \times 6{,}022\times10^{23}\times 6{,}847\times10^{-23}}{4} \approx 107{,}9\\ \mathrm{g/mol}.

Passo 6

A massa molar calculada \approx 108\\ \mathrm{g/mol} corresponde ao elemento prata, cujo símbolo é Ag e massa atômica \approx107{,}87\\ \mathrm{g/mol}.

Resposta

O metal X é a prata, Ag.

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