O rumo magnético do lado
\mathrm{A}-\mathrm{B}
de um triângulo equilátero (
\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}
) vale
23^{\circ} 30^{\prime}
NE. Calcular os rumos verdadeiros dos outros dois lados, sabendo-se que a declinação magnética no local vale
12^{\circ} 20^{\prime}
W e que o caminhamento foi realizado no sentido horário. Sendo as coordenadas cartesianas do vértice B (
0,0 \mathrm{~m} ; 0,0 \mathrm{~m}
) e o comprimento do lado A-B igual a
80,0 \mathrm{~m}
, determine as coordenadas cartesianas dos outros dois vértices, com relação ao eixo N-S verdadeiro.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo equilátero ABC em que:
– O rumo magnético de A\to B vale 23^\circ 30^\prime NE.
– A declinação magnética local é 12^\circ 20^\prime W.
– O caminhamento foi feito no sentido horário (giro à direita em cada vértice).
– As coordenadas de B são (0,0) e o lado AB mede 80{,}0,m.
Precisamos:
1. Converter o rumo magnético de AB em rumo verdadeiro.
2. Determinar os rumos verdadeiros dos lados B\to C e C\to A, sabendo que, num triângulo equilátero, cada giro externo sucessivo é de 120^\circ no sentido horário.
3. Calcular as coordenadas de A e de C no sistema cartesiano com eixo Norte verdadeiro (eixo Y) e eixo Leste verdadeiro (eixo X), usando
\Delta N = d\cos(\alpha),\quad \Delta E = d\sin(\alpha),
onde \alpha é o azimute verdadeiro contado de 0^\circ a 360^\circ a partir do norte.

Passo 2

Converter o rumo magnético de A\to B em azimute verdadeiro. Como a declinação é de 12^\circ 20^\prime W, adiciona-se esse valor ao rumo magnético:
\text{rumo verdadeiro }AB =23^\circ30^\prime +12^\circ20^\prime =35^\circ50^\prime.
Em azimute, \alpha_{AB}=35^\circ50^\prime.

Passo 3

Calcular os azimutes verdadeiros de B\to C e de C\to A fazendo giros de 120^\circ à direita (sentido horário):
\alpha_{BC} =\alpha_{AB}+120^\circ =35^\circ50^\prime+120^\circ =155^\circ50^\prime,
\alpha_{CA} =\alpha_{BC}+120^\circ =155^\circ50^\prime+120^\circ =275^\circ50^\prime \quad(\!\bmod360^\circ\!).

Passo 4

Determinar as coordenadas de A conhecendo-se B=(0,0), AB=80{,}0 m e azimute de B\to A. Note que
\alpha_{BA}=\alpha_{AB}+180^\circ=35^\circ50^\prime+180^\circ=215^\circ50^\prime.
Aplicando
\Delta N_A =80{,}0\cos(215^\circ50^\prime),\quad \Delta E_A =80{,}0\sin(215^\circ50^\prime),
obtém-se numericamente (ângulos em graus decimais: 215{,}833^\circ)
\Delta N_A\approx80\cdot(-0,8107)=-64,9\text{ m},\quad \Delta E_A\approx80\cdot(-0,5857)=-46,9\text{ m}.
Logo
A\bigl(E,N\bigr)=(-46{,}9;\,-64{,}9)\text{ m}.

Passo 5

Calcular as coordenadas de C usando B=(0,0), BC=80{,}0 m e azimute \alpha_{BC}=155^\circ50^\prime.
\Delta N_C =80\cos(155^\circ50^\prime),\quad \Delta E_C =80\sin(155^\circ50^\prime).
Numericamente (ângulo 155{,}833^\circ)
\Delta N_C\approx80\cdot(-0,9129)=-73,0\text{ m},\quad \Delta E_C\approx80\cdot(0,4084)=32,7\text{ m}.
Portanto
C\bigl(E,N\bigr)=(32{,}7;\,-73{,}0)\text{ m}.

Resposta

Rumos verdadeiros:
\displaystyle B\to C=155^\circ50^\prime,\quad C\to A=275^\circ50^\prime.
Coordenadas cartesianas (E,,N) dos vértices (em metros):
A=(-46{,}9;\,-64{,}9),\quad C=(32{,}7;\,-73{,}0).

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