\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série infinita
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4}.
O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para reescrever o termo geral como uma diferença de duas frações, o que gera uma série telescópica que facilita o cálculo da soma.

Passo 2

Começamos decompondo
\frac{4}{n^{2}-4} = \frac{4}{(n-2)(n+2)} = \frac{A}{n-2} + \frac{B}{n+2}.
Multiplicando por (n-2)(n+2)\), obtemos \[4 = A(n+2) + B(n-2).
Comparando coeficientes, vem
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A - 2B = 4, \end{cases}
logo A=1\] e \(B=-1. Portanto
\frac{4}{n^{2}-4} = \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}.

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=3}^{N} \Bigl(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\Bigr).
Escrevendo termos, temos
S_{N} = \Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{N-2}-\frac{1}{N+2}\Bigr).
Observe que, a partir de \tfrac{1}{5} até \tfrac{1}{N-2}, todos os termos positivos e negativos se cancelam. Sobram
S_{N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \;-\;\Bigl(\frac{1}{N-1} + \frac{1}{N} + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2}\Bigr).

Passo 4

Fazendo N \to +\infty, os termos \tfrac{1}{N-1},\tfrac{1}{N},\tfrac{1}{N+1},\tfrac{1}{N+2} vão a zero. Logo a soma da série é
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}.
Calculando
1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 = \frac{12 + 6 + 4 + 3}{12} = \frac{25}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{25}{12}

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