\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4} Passo 1O enunciado pede para calcular a série infinita \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4}. O conteúdo principal aqui é usar decomposição em frações parciais para reescrever o termo geral como uma diferença de duas frações, o que gera uma série telescópica que facilita o cálculo da soma. Passo 2Começamos decompondo \frac{4}{n^{2}-4} = \frac{4}{(n-2)(n+2)} = \frac{A}{n-2} + \frac{B}{n+2}. Multiplicando por (n-2)(n+2)\), obtemos \[4 = A(n+2) + B(n-2). Comparando coeficientes, vem \begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A - 2B = 4, \end{cases} logo A=1\] e \(B=-1. Portanto \frac{4}{n^{2}-4} = \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}. Passo 3Definimos a soma parcial S_{N} = \sum_{n=3}^{N} \Bigl(\frac{1}{n-2} - \frac{1}{n+2}\Bigr). Escrevendo termos, temos S_{N} = \Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{5}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{N-2}-\frac{1}{N+2}\Bigr). Observe que, a partir de \tfrac{1}{5} até \tfrac{1}{N-2}, todos os termos positivos e negativos se cancelam. Sobram S_{N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \;-\;\Bigl(\frac{1}{N-1} + \frac{1}{N} + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2}\Bigr). Passo 4Fazendo N \to +\infty, os termos \tfrac{1}{N-1},\tfrac{1}{N},\tfrac{1}{N+1},\tfrac{1}{N+2} vão a zero. Logo a soma da série é \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{4}{n^{2}-4} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}. Calculando 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 = \frac{12 + 6 + 4 + 3}{12} = \frac{25}{12}. Resposta \displaystyle \frac{25}{12} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosPara a malha fornecida calcular o volume de corte e aterro para deixar o terreno plano com altura igual a cota de passagem. A abertura da malha é de 10 m . Desenhar as curvas de nível Ponto COTA (m) A1 10,34 A2 12,27 A3 14,15 B1 10,87 B2 12,90 B3 14,63 C1 11,61 C2 13,33 C3 14,75 D1 12,50 D2 13,63 D3 15,21 E1 13,20 E2 13,91 E3 15,40 Questão 1. Suponha que (1,1) seja um ponto crítico de uma função f com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre f ? f_{x x}(1,1)=-6, f_{x y}(1,1)=0, f_{y y}(1,1)=8 O rumo magnético do lado \mathrm{A}-\mathrm{B} de um triângulo equilátero ( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} ) vale 23^{\circ} 30^{\prime} NE. Calcular os rumos verdadeiros dos outros dois lados, sabendo-se que a declinação magnética no local vale 12^{\circ} 20^{\prime} W e que o caminhamento foi realizado no sentido horário. Sendo as coordenadas cartesianas do vértice B ( 0,0 \mathrm{~m} ; 0,0 \mathrm{~m} ) e o comprimento do lado A-B igual a 80,0 \mathrm{~m} , determine as coordenadas cartesianas dos outros dois vértices, com relação ao eixo N-S verdadeiro. O rumo magnético do lado \mathrm{A}-\mathrm{B} de um triângulo equilátero ( \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} ) vale 23^{\circ} 30^{\prime} NE. Calcular os rumos verdadeiros dos outros dois lados, sabendo-se que a declinação magnética no local vale 12^{\circ} 20^{\prime} W e que o caminhamento foi realizado no sentido horário. Sendo as coordenadas cartesianas do vértice B ( 0,0 \mathrm{~m} ; 0,0 \mathrm{~m} ) e o comprimento do lado A-B igual a 80,0 \mathrm{~m} , determine as coordenadas cartesianas dos outros dois vértices, com relação ao eixo N-S verdadeiro.