Rutherford propôs, em 1911, a existência de um núcleo para o átomo. Segundo ele, o átomo de um elemento de núcleo atômico Z tem um núcleo esférico minúsculo, de raio a e carga Z e, circundado por uma carga eletrônica uniformemente distribuída em uma esfera de raio R, muito maior que a, concêntrica ao núcleo. Calcule o valor do campo elétrico dentro da nuvem eletrônica, em um ponto à distância r do centro do átomo.

Passo 1

O enunciado descreve o átomo segundo Rutherford como tendo um núcleo de carga positiva +Ze e raio a, cercado por uma “nuvem” eletrônica de carga total -Ze distribuída de forma uniforme numa esfera de raio Rgg a. Precisamos calcular o campo elétrico E(r) num ponto situado a uma distância r do centro, com a<r<R. Para isso vamos usar a densidade de carga da nuvem e a Lei de Gauss.

Passo 2

A densidade volumétrica de carga da nuvem eletrônica, que tem carga total -Ze e volume tfrac43pi R^3, é
rho ;=; -Zetfrac43,pi R^3 ;=;-,3,Ze4pi R^3,

Passo 3

A carga de elétrons contida dentro de uma esfera de raio r (com r<R) é
Qe(r);=;rho;times;43,pi r^3 ;=;-,Ze;r^3R^3,

Passo 4

A carga total envolvida por uma superfície gaussiana de raio r é a soma da carga do núcleo mais a carga eletrônica interna:
Qenc(r) =;Ze;+;Qe(r) =;Ze;-;Ze,r^3R^3 =;Ze;l(1-r^3R^3r)

Passo 5

Pela Lei de Gauss, para campo radial simétrico:
oint Ecdot dA =E(r),4pi r^2 =Qenc(r)varepsilon0,
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E(r) =Qenc(r)4pivarepsilon0,r^2 =Ze4pivarepsilon0,r^2;l(1-r^3R^3r)

Resposta

E(r)=Ze4pivarepsilon0,r^2,l(1-r^3R^3r) para a<r<R,
direção radial (para fora do núcleo).

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