Um pêndulo é formado ao articular uma barra homogênea, longa e fina, de compromento
e massa
, em torno de um ponto que está a uma distância
acima do centro da barra. a) Ache o período das oscilações de pequena amplitude desse pêndulo em termos de
e
. b) Mostre que o período tem um valor mínimo quando
.
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra homogênea de massa
e comprimento
, presa por um pivô a uma distância
do seu centro de massa. Para pequenas oscilações, o período satisfaz a fórmula do pêndulo físico
onde
é o momento de inércia da barra em relação ao pivô e
é a aceleração da gravidade.
Passo 2
Calcular o momento de inércia da barra em torno de seu centro de massa, que para uma barra fina e homogênea vale
Passo 3
Aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia em relação ao pivô, que está a distancia
do centro de massa:
Passo 4
Substituir
na fórmula do período do pêndulo físico para pequenas oscilações:
Passo 5
Para achar o valor de
que minimiza
, é equivalente minimizar o quadrado do período. Defina
Passo 6
Calcular a derivada de
e igualar a zero para achar o ponto crítico:
Passo 7
Observar que
portanto o período é mínimo quando
.
Resposta
a)
.
b) O valor de que minimiza
é
b) O valor de