Um pêndulo é formado ao articular uma barra homogênea, longa e fina, de compromento L e massa m, em torno de um ponto que está a uma distância d acima do centro da barra. a) Ache o período das oscilações de pequena amplitude desse pêndulo em termos de d, L, m e g. b) Mostre que o período tem um valor mínimo quando d=0.29 L.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra homogênea de massa m e comprimento L, presa por um pivô a uma distância d do seu centro de massa. Para pequenas oscilações, o período satisfaz a fórmula do pêndulo físico
T = 2pi raizIPm g d,
onde IP é o momento de inércia da barra em relação ao pivô e g é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Calcular o momento de inércia da barra em torno de seu centro de massa, que para uma barra fina e homogênea vale
IC = 112,m,L^2

Passo 3

Aplicar o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia em relação ao pivô, que está a distancia d do centro de massa:
IP = IC + m,d^2 = mgl(L^212 + d^2gr)

Passo 4

Substituir IP na fórmula do período do pêndulo físico para pequenas oscilações:
T = 2pi raizml(L^212+d^2r)m,g,d = 2pi raizL^212+d^2g,d,

Passo 5

Para achar o valor de d que minimiza T, é equivalente minimizar o quadrado do período. Defina
f(d) = T^2 propto L^212+d^2d = d + L^212,d,

Passo 6

Calcular a derivada de f(d) e igualar a zero para achar o ponto crítico:
f'(d) = 1 - L^212,d^2 = 0 Longrightarrow d^2 = L^212 Longrightarrow d = Lraiz12,

Passo 7

Observar que
1raiz12 approx 0,289 approx 0,29,
portanto o período é mínimo quando d approx 0,29,L.

Resposta

a) T = 2pi raizdfractfracL^212 + d^2g,d.
b) O valor de d que minimiza T é
d = Lraiz12 approx 0,29,L

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