Considerando que
, determine:
a) A faixa de Kc de um controlador proporcional em que o sistema será estável.
b) A faixa de Kc de um controlador
em que o sistema será estável.
a) A faixa de Kc de um controlador proporcional em que o sistema será estável.
b) A faixa de Kc de um controlador
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que precisamos usar.
Enunciado:
Temos o planta
Enunciado:
Temos o planta
e realimentação unitária (ou seja
Precisamos achar para que valores de
a) controlador proporcional puro (
b) controlador PI com
Conteúdo/matemática que vamos usar:
- Função de transferência em malha fechada:
. - Equação característica:
. - Critério de estabilidade de Routh–Hurwitz (ou sinal dos coeficientes em divisão de segundo grau).
A partir do próximo passo, já partimos pra resolução de verdade.
Passo 2
- Escrevendo o laço aberto:
- A equação característica
vira porque multipliquei tudo por . - Logo o denominador em malha fechada é
- Critério de estabilidade de 2º grau: todos os coeficientes positivos. Já temos
e . Só precisa
Não pulamos nada: todo sistema de 2ª ordem com coeficientes positivos é estável.
Passo 3
-
Como, fica -
Laço aberto:
-
A char. eq. é
. Multiplicando tudo por , obtemos o polinômio de malha fechada: Ou seja -
Montamos a tabela de Routh:
s³ │ 12 │ 3+12K_c
s² │ 6 │ 4K_c
s¹ │=3+4K_c │ 0
s⁰ │ 4K_cPra estabilidade, todos esses devem ser positivos:- 12>0 (ok)
- 6>0 (ok)
- 3+4K_c>0 ⇒
- 4K_c>0 ⇒
.
A condição mais restrita é.
Resposta
a) Para o P puro:
.
b) Para o PI (com ):
.
b) Para o PI (com