Gp(s)=44 s^2+2 s+1
Considerando que Gv=Gm=1, determine:
a) A faixa de Kc de um controlador proporcional em que o sistema será estável.
b) A faixa de Kc de um controlador Pl com tauI=3 em que o sistema será estável.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede e o que precisamos usar.
Enunciado:
Temos o planta
Gp(s)=44s^2+2s+1
e realimentação unitária (ou seja ).
Precisamos achar para que valores de o sistema em malha fechada é estável em dois casos:
a) controlador proporcional puro ( );
b) controlador PI com ( ).
Conteúdo/matemática que vamos usar:
  • Função de transferência em malha fechada: .
  • Equação característica: .
  • Critério de estabilidade de Routh–Hurwitz (ou sinal dos coeficientes em divisão de segundo grau).
A partir do próximo passo, já partimos pra resolução de verdade.

Passo 2

  1. Escrevendo o laço aberto: L(s)=Gc(s),Gp(s)=Kc;44s^2+2s+1
  2. A equação característica 1 + 4Kc4s^2+2s+1=0 ;Longrightarrow; 4s^2+2s+1 + 4Kc = 0 vira D(s)=4s^2 + 2s + (1+4Kc) porque multipliquei tudo por 1 + 4Kc > 0 ;Longrightarrow; Kc > -14 .
  3. Logo o denominador em malha fechada é
  4. Critério de estabilidade de 2º grau: todos os coeficientes positivos. Já temos e . Só precisa
Não pulamos nada: todo sistema de 2ª ordem com coeficientes positivos é estável.

Passo 3

  1. Gc(s)=Kc3s+13s
    Como L(s)=Gc(s),Gp(s) =Kc3s+13s;44s^2+2s+1 , fica
    3s(4s^2+2s+1) + 4Kc,(3s+1)=0
  2. Laço aberto:
    12s^3 + 6s^2 + 3s + 12Kc,s + 4Kc = 0 ;Longrightarrow; 12s^3 + 6s^2 + l(3+12Kcr)s + 4Kc = 0
  3. A char. eq. é . Multiplicando tudo por , obtemos o polinômio de malha fechada:
    Ou seja
  4. Montamos a tabela de Routh:
    s³ │ 12 │ 3+12K_c
    s² │ 6 │ 4K_c
    s¹ │ =3+4K_c │ 0
    s⁰ │ 4K_c
    Pra estabilidade, todos esses devem ser positivos:
    • 12>0 (ok)
    • 6>0 (ok)
    • 3+4K_c>0 ⇒
    • 4K_c>0 ⇒ .
    A condição mais restrita é .

Resposta

a) Para o P puro: .
b) Para o PI (com ): .

Exercícios relacionados