S é a parte do plano 2 x+2 y+z=4 que está no primeiro octante
11. \iint_{S} x d S,

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,dS,
onde S é a parte do plano \;2x+2y+z=4\; que está no primeiro octante. Informações dadas que vamos usar:
  • Superfície:2x+2y+z=4.
  • Primeiro octante:x\ge 0,;y\ge 0,;z\ge 0.
  • Integração:\iint_{S} x,dS.
]

Passo 2

Vamos transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre a projeção D de S no plano xy. Para isso usamos a descrição do plano como gráfico de uma função z=f(x,y). Isolando z na equação do plano obtemos:
z=f(x,y)=4-2x-2y.
Explico a ideia usada: quando uma superfície é dada como z=f(x,y) sobre uma região D no plano xy, a área infinitesimal da superfície é
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f em relação a x e y, e dA é o elemento de área no plano xy. Aqui dA normalmente significa dx\,dy ou dy\,dx. Essa fórmula vem do cálculo vetorial/geométrico: o elemento de área é o comprimento do produto vetorial dos vetores tangentes à superfície, e isso reduz à raiz quadrada acima para gráficos z=f(x,y). Não se preocupe com a derivação completa agora — o que importa para fazer a conta é saber aplicar a fórmula e calcular f_x e f_y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=4-2x-2y:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-2x-2y)=-2,
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-2x-2y)=-2.
Agora a raiz quadrada que aparece em dS é
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
Portanto, neste caso simples, dS=3\,dA. Ou seja, cada pequeno pedaço de área na projeção vale 3 vezes na superfície (isso acontece porque o plano está inclinado).

Passo 4

Precisamos agora determinar a região D no plano xy que é a projeção de S. A superfície está no primeiro octante, então x\ge 0, y\ge 0 e z\ge 0. Usando z=4-2x-2y e exigindo z\ge 0 temos:
4-2x-2y\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+2y\le 4 \quad\Longrightarrow\quad x+y\le 2.
Assim D é o triângulo no plano xy definido por
D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\;y\ge 0,\;x+y\le 2\}.
Nota rápida: os interceptos do plano com os eixos são x=2 (quando y=0,z=0), y=2 (quando x=0,z=0) e z=4 (quando x=0,y=0), o que confirma que a projeção no plano xy é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(0,2).

Passo 5

Substituímos dS por 3\,dA e restringimos a integração a D. A integral fica:
\iint_{S} x\,dS=\iint_{D} x\cdot 3\,dA = 3\iint_{D} x\,dA.
Agora escolhemos uma ordem de integração conveniente. Usaremos integração na ordem dy\,dx: para cada x fixo em [0,2], y varia de 0 até 2-x. Portanto:
3\iint_{D} x\,dA = 3\int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{2-x} x\,dy\right)dx.

Passo 6

Calcule a integral interna em y. Como x é constante em relação a y,
\int_{y=0}^{2-x} x\,dy = x\big[y\big]_{0}^{2-x} = x(2-x).
Então a integral fica
3\int_{0}^{2} x(2-x)\,dx = 3\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{2} 2x\,dx = \big[x^2\big]_{0}^{2} = 4,
\int_{0}^{2} x^2\,dx = \bigg[\frac{x^3}{3}\bigg]_{0}^{2} = \frac{8}{3}.
Portanto
\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}.
Multiplicando por 3 temos o resultado final da integral:
3\cdot\frac{4}{3}=4.

Resposta

4

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