é a parte do plano
que está no primeiro octante
11.
,
11.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de superfície
onde
é a parte do plano
que está no primeiro octante. Informações dadas que vamos usar:
- •Superfície:2x+2y+z=4.
- •Primeiro octante:x\ge 0,;y\ge 0,;z\ge 0.
- •Integração:\iint_{S} x,dS.
Passo 2
Vamos transformar a integral de superfície numa integral dupla sobre a projeção
de
no plano
. Para isso usamos a descrição do plano como gráfico de uma função
. Isolando
na equação do plano obtemos:
Explico a ideia usada: quando uma superfície é dada como
sobre uma região
no plano
, a área infinitesimal da superfície é
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, e
é o elemento de área no plano
. Aqui
normalmente significa
ou
. Essa fórmula vem do cálculo vetorial/geométrico: o elemento de área é o comprimento do produto vetorial dos vetores tangentes à superfície, e isso reduz à raiz quadrada acima para gráficos
. Não se preocupe com a derivação completa agora — o que importa para fazer a conta é saber aplicar a fórmula e calcular
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
:
Agora a raiz quadrada que aparece em
é
Portanto, neste caso simples,
. Ou seja, cada pequeno pedaço de área na projeção vale 3 vezes na superfície (isso acontece porque o plano está inclinado).
Passo 4
Precisamos agora determinar a região
no plano
que é a projeção de
. A superfície está no primeiro octante, então
,
e
. Usando
e exigindo
temos:
Assim
é o triângulo no plano
definido por
Nota rápida: os interceptos do plano com os eixos são
(quando
),
(quando
) e
(quando
), o que confirma que a projeção no plano
é o triângulo com vértices
.
Passo 5
Substituímos
por
e restringimos a integração a
. A integral fica:
Agora escolhemos uma ordem de integração conveniente. Usaremos integração na ordem
: para cada
fixo em
,
varia de
até
. Portanto:
Passo 6
Calcule a integral interna em
. Como
é constante em relação a
,
Então a integral fica
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Multiplicando por
temos o resultado final da integral:
Resposta
4