Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente usando o teste da raiz ou o teste da razão.
\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}
e pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, usando o teste da raiz ou o teste da razão. Informações relevantes fornecidas: o termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}. Não há outras condições ou figuras.

Passo 2

Vou escolher o teste da raiz porque o expoente do termo geral é proporcional a n (tem um fator 5n), e o teste da raiz costuma ser o mais direto quando a forma é algo elevado a n. O algoritmo do teste da raiz funciona bem aqui e dará o resultado de forma simples.
Explico o teste da raiz de forma didática:
\text{Seja }a_n\text{ o termo geral. Definimos }L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
As conclusões são:
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série \sum a_n diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa |a_n|^{1/n}. O motivo heurístico: |a_n|^{1/n} dá a “taxa multiplicativa” por termo; se essa taxa é menor que 1 a soma tende a convergir, se maior que 1 os termos não vão a zero e a soma explode.

Passo 3

Calculemos \sqrt[n]{|a_n|} para o nosso a_n. Primeiro escrevo o módulo do termo e a raiz enésima:
|a_n|=\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5 n}.
Logo
\sqrt[n]{|a_n|}=\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Reescrevo a fração para ver o comportamento:
\frac{2 n}{n+1}=\frac{2}{1+\tfrac{1}{n}}.
Como \tfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{2 n}{n+1}=\frac{2}{1+0}=2.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5}=2^{5}=32.

Passo 4

Interpretando o resultado do teste da raiz: encontramos L=32, que é maior que 1. Pelo teste da raiz, isso implica que a série diverge. Mais informalmente: a raiz enésima do módulo dos termos tende a 32>1, então os termos em módulo crescem geometricamente e a soma não pode convergir.
Para reforçar e explicar por que não há nem convergência condicional: quando L>1 normalmente os termos não tendem a zero, condição necessária para convergência. Posso mostrar isso examinando o logarítmo:
\ln|a_n|=5n\ln\!\left(\frac{2n}{n+1}\right).
Dividindo por n e tomando limite,
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln|a_n|}{n}=5\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(\frac{2n}{n+1}\right)=5\ln 2=\ln 32>0.
Logo \ln|a_n|\sim n\ln 32 para n grande, o que implica |a_n|\to\infty. Se o módulo dos termos tende a infinito, o próprio termo a_n não tende a zero, portanto nem mesmo há possibilidade de convergência condicional (que exige a_n\to 0). Assim a série diverge de maneira definitiva.

Resposta

Divergente.

Exercícios relacionados