Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente usando o teste da raiz ou o teste da razão.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, usando o teste da raiz ou o teste da razão. Informações relevantes fornecidas: o termo geral da série é
. Não há outras condições ou figuras.
Passo 2
Vou escolher o teste da raiz porque o expoente do termo geral é proporcional a
(tem um fator
), e o teste da raiz costuma ser o mais direto quando a forma é algo elevado a
. O algoritmo do teste da raiz funciona bem aqui e dará o resultado de forma simples.
Explico o teste da raiz de forma didática:
As conclusões são:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aquisignifica . O motivo heurístico: dá a “taxa multiplicativa” por termo; se essa taxa é menor que 1 a soma tende a convergir, se maior que 1 os termos não vão a zero e a soma explode.
Passo 3
Calculemos
para o nosso
. Primeiro escrevo o módulo do termo e a raiz enésima:
Logo
Agora tomo o limite quando
. Reescrevo a fração para ver o comportamento:
Como
quando
, segue que
Portanto
Passo 4
Interpretando o resultado do teste da raiz: encontramos
, que é maior que
. Pelo teste da raiz, isso implica que a série diverge. Mais informalmente: a raiz enésima do módulo dos termos tende a
, então os termos em módulo crescem geometricamente e a soma não pode convergir.
Para reforçar e explicar por que não há nem convergência condicional: quando
normalmente os termos não tendem a zero, condição necessária para convergência. Posso mostrar isso examinando o logarítmo:
Dividindo por
e tomando limite,
Logo
para
grande, o que implica
. Se o módulo dos termos tende a infinito, o próprio termo
não tende a zero, portanto nem mesmo há possibilidade de convergência condicional (que exige
). Assim a série diverge de maneira definitiva.
Resposta
Divergente.