EXEMPLO 6 A temperatura
em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera
de raio
e centro no centro da bola.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
O que pedir:
Observação importante: vou denotar por
a condutividade térmica do metal (constante positiva). Não há valores numéricos dados para
nem para
, então a resposta ficará em termos dessas constantes e de
.
Passo 2
Qual método usar e por quê.
A taxa de transmissão de calor através de uma superfície é dada pela integral de superfície do fluxo de calor. A lei fundamental que relaciona temperatura e fluxo é a lei de Fourier, que diz que o vetor fluxo de calor
(energia por unidade de área por unidade de tempo, direção do fluxo) satisfaz
onde
é a condutividade térmica e
é o gradiente da temperatura. O sinal negativo indica que o calor flui do ponto de maior temperatura para o de menor temperatura.
Portanto a taxa total de calor saindo (fluxo total orientado para fora) através de
é
onde
é o versor normal à superfície apontando para fora. Vou aplicar essa fórmula diretamente; é o método mais direto e elementar aqui.
Passo 3
Calcular o gradiente
.
Primeiro escrevemos
com
. A função
tem gradiente
onde
é o vetor posição. Assim
Explicando devagar: cada componente é a derivada parcial de
, por exemplo
, etc., reunindo dá o vetor
.
Passo 4
Escrever o vetor fluxo
usando a lei de Fourier.
Pela lei de Fourier,
Isso significa que, em cada ponto, o fluxo é radial (proporcional a
) e aponta para dentro se
(pois o sinal é negativo): temperatura aumenta com
, então o calor flui para o interior.
Passo 5
Calcular o produto escalar
sobre a superfície
.
Na esfera de raio
temos
e o versor normal exterior é
. Então
Como
na superfície, isso simplifica para
Repare que esse valor é constante sobre toda a esfera: o fluxo normal não depende da posição angular, apenas do raio
.
Passo 6
Integrar sobre a superfície para obter a taxa total.
A integral de superfície de uma função constante sobre
é esse valor multiplicado pela área de
. A área da esfera de raio
é
. Assim
Interpretação do sinal:
aqui é o fluxo orientado para fora. O resultado negativo significa que o fluxo efetivamente é dirigido para dentro da esfera (ou seja, o calor atravessa
no sentido do exterior para o interior). Se quisermos apenas a taxa de calor atravessando
em magnitude (valor positivo), basta tomar
.
Passo 7
Checagem alternativa rápida (consistência) usando o Teorema da Divergência.
Como verificação, podemos calcular
. Temos
, e
, então
Pelo Teorema da Divergência,
onde
é a bola de raio
e
. Isso dá
que coincide com o cálculo direto — bom sinal de que está certo.