EXEMPLO 6 A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro no centro da bola.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados:
\begin{aligned} &\text{A temperatura }u\text{ numa bola metálica é proporcional ao quadrado da distância ao centro;}\\\ &\text{seja }r\text{ a distância ao centro e }c\text{ a constante de proporcionalidade,}\\\ &\text{logo }u(r)=c\,r^{2}.\\\ &\text{Seja }S\text{ a esfera de raio }a\text{ centrada no centro da bola.} \end{aligned}áéââ
O que pedir:
\text{Determinar a taxa de transmissão de calor através da esfera }S\text{ (fluxo de calor).}ãé
Observação importante: vou denotar por k a condutividade térmica do metal (constante positiva). Não há valores numéricos dados para c nem para k, então a resposta ficará em termos dessas constantes e de a.

Passo 2

Qual método usar e por quê.
A taxa de transmissão de calor através de uma superfície é dada pela integral de superfície do fluxo de calor. A lei fundamental que relaciona temperatura e fluxo é a lei de Fourier, que diz que o vetor fluxo de calor \mathbf{q} (energia por unidade de área por unidade de tempo, direção do fluxo) satisfaz
\mathbf{q} = -k\,\nabla u,
onde k é a condutividade térmica e \nabla u é o gradiente da temperatura. O sinal negativo indica que o calor flui do ponto de maior temperatura para o de menor temperatura.
Portanto a taxa total de calor saindo (fluxo total orientado para fora) através de S é
\Phi=\iint_{S}\mathbf{q}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \hat{n} é o versor normal à superfície apontando para fora. Vou aplicar essa fórmula diretamente; é o método mais direto e elementar aqui.

Passo 3

Calcular o gradiente \nabla u.
Primeiro escrevemos u(r)=c\,r^{2} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. A função r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} tem gradiente
\nabla(r^{2})=(2x,2y,2z)=2\mathbf{r},
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição. Assim
\nabla u = \nabla(c\,r^{2}) = c\,\nabla(r^{2}) = 2c\,\mathbf{r}.
Explicando devagar: cada componente é a derivada parcial de c(x^{2}+y^{2}+z^{2}), por exemplo \partial u/\partial x = c\cdot 2x, etc., reunindo dá o vetor 2c(x,y,z).

Passo 4

Escrever o vetor fluxo \mathbf{q} usando a lei de Fourier.
Pela lei de Fourier,
\mathbf{q} = -k\,\nabla u = -k\cdot(2c\,\mathbf{r}) = -2kc\,\mathbf{r}.
Isso significa que, em cada ponto, o fluxo é radial (proporcional a \mathbf{r}) e aponta para dentro se c>0 (pois o sinal é negativo): temperatura aumenta com r, então o calor flui para o interior.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{q}\cdot\hat{n} sobre a superfície S.
Na esfera de raio a temos r=a e o versor normal exterior é \hat{n}=\mathbf{r}/r=\mathbf{r}/a. Então
\mathbf{q}\cdot\hat{n} = (-2kc\,\mathbf{r})\cdot\frac{\mathbf{r}}{a} = -2kc\,\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}{a} = -2kc\,\frac{r^{2}}{a}.
Como r=a na superfície, isso simplifica para
\mathbf{q}\cdot\hat{n} = -2kc\,a.
Repare que esse valor é constante sobre toda a esfera: o fluxo normal não depende da posição angular, apenas do raio a.

Passo 6

Integrar sobre a superfície para obter a taxa total.
A integral de superfície de uma função constante sobre S é esse valor multiplicado pela área de S. A área da esfera de raio a é 4\pi a^{2}. Assim
\Phi = \iint_{S}\mathbf{q}\cdot\hat{n}\,dS = (-2kc\,a)\cdot 4\pi a^{2} = -8\pi k c\,a^{3}.
Interpretação do sinal: \Phi aqui é o fluxo orientado para fora. O resultado negativo significa que o fluxo efetivamente é dirigido para dentro da esfera (ou seja, o calor atravessa S no sentido do exterior para o interior). Se quisermos apenas a taxa de calor atravessando S em magnitude (valor positivo), basta tomar |\Phi|=8\pi k c\,a^{3}.

Passo 7

Checagem alternativa rápida (consistência) usando o Teorema da Divergência.
Como verificação, podemos calcular \operatorname{div}\mathbf{q}. Temos \mathbf{q}=-2kc\,\mathbf{r}, e \operatorname{div}\mathbf{r}=3, então
\operatorname{div}\mathbf{q} = -2kc\cdot 3 = -6kc.
Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}\mathbf{q}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{B}\operatorname{div}\mathbf{q}\,dV = (-6kc)\cdot \operatorname{Vol}(B),
onde B é a bola de raio a e \operatorname{Vol}(B)=\tfrac{4}{3}\pi a^{3}. Isso dá
(-6kc)\cdot \tfrac{4}{3}\pi a^{3} = -8\pi k c\,a^{3},
que coincide com o cálculo direto — bom sinal de que está certo.

Resposta

\Phi = -8\pi k c\,a^{3} (taxa de calor orientada para fora).
|\Phi| = 8\pi k c\,a^{3} (magnitude da taxa de transmissão de calor).

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