Se S_{1} e S_{2} são subconjuntos de V, então \left[S_{1} \cup S_{2}\right]=\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado dá que S_{1} e S_{2} são subconjuntos de um espaço vetorial V e pergunta se vale a igualdade
\left[S_{1}\cup S_{2}\right]=\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
Ou seja: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa. Informação fornecida: S_{1}\subseteq V, S_{2}\subseteq V. A notação \left[\cdot\right] indica o subconjunto gerado (span) — a partir daqui usaremos isso para provar ou refutar a igualdade.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar bem direitinho o que cada lado significa (aqui eu explico as definições como num passo-a-passo para você lembrar na prova):
  • Definição de gerador (span): para um conjunto S\subseteq V, \left[S\right] é o menor subespaço de V que contém S. Equivalentemente, \left[S\right] é o conjunto de todas as combinações lineares finitas de vetores de S. Em palavras: um vetor x pertence a \left[S\right] se existem vetores s_{1},\dots,s_{k}\in S e escalares \alpha_{1},\dots,\alpha_{k} tais que
x=\alpha_{1}s_{1}+\cdots+\alpha_{k}s_{k}.
  • Definição de soma de subespaços: se U e W são subespaços de V, então
U+W=\{u+w \mid u\in U,\; w\in W\}.
É o menor subespaço que contém U\cup W.
Com essas definições na mão, vamos provar a igualdade mostrando as duas inclusões.

Passo 3

Provar que \left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\cup S_{2}\right].
Pegue um vetor qualquer x\in\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]. Por definição de soma, existem u\in\left[S_{1}\right] e v\in\left[S_{2}\right] tais que x=u+v.
Como u\in\left[S_{1}\right], existe uma combinação linear finita
u=\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}s_{1,i},
com s_{1,i}\in S_{1}. Similarmente, como v\in\left[S_{2}\right], existe
v=\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}s_{2,j},
com s_{2,j}\in S_{2}.
Somando,
x=u+v=\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}s_{1,i}+\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}s_{2,j},
que é uma combinação linear finita de vetores que pertencem a S_{1} ou a S_{2}. Todos esses vetores estão em S_{1}\cup S_{2}, então x é uma combinação linear de elementos de S_{1}\cup S_{2}. Pelo conceito de span, isso implica x\in\left[S_{1}\cup S_{2}\right].
Portanto \left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\cup S_{2}\right].

Passo 4

Provar que \left[S_{1}\cup S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
Pegue agora x\in\left[S_{1}\cup S_{2}\right]. Então x é combinação linear finita de vetores em S_{1}\cup S_{2}; isto é, existem vetores t_{1},\dots,t_{k}\in S_{1}\cup S_{2} e escalares \gamma_{1},\dots,\gamma_{k} tais que
x=\sum_{r=1}^{k}\gamma_{r}t_{r}.
Cada t_{r} pertence a S_{1} ou a S_{2}. Agora é a hora da ideia simples e prática: separamos a soma em duas somas — os termos cujo vetor vem de S_{1} e os termos cujo vetor vem de S_{2}. Escreva
x=\underbrace{\sum_{t_{r}\in S_{1}}\gamma_{r}t_{r}}_{u}+\underbrace{\sum_{t_{r}\in S_{2}}\gamma_{r}t_{r}}_{v}.
As somas acima são finitas (porque a combinação original era finita). Logo u é uma combinação linear de elementos de S_{1}, portanto u\in\left[S_{1}\right]. Do mesmo modo v\in\left[S_{2}\right]. Assim x=u+v com u\in\left[S_{1}\right] e v\in\left[S_{2}\right], o que mostra x\in\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
Portanto \left[S_{1}\cup S_{2}\right]\subseteq\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].

Passo 5

Com as duas inclusões provadas, concluímos a igualdade
\left[S_{1}\cup S_{2}\right]=\left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right].
Vou dar um exemplo concreto para fixar a intuição: em \mathbb{R}^{2}, tome S_{1}=\{(1,0)\} e S_{2}=\{(0,1)\}. Então \left[S_{1}\right] é o eixo x, \left[S_{2}\right] é o eixo y, a soma \left[S_{1}\right]+\left[S_{2}\right] é todo \mathbb{R}^{2} (porque qualquer vetor (a,b)=(a,0)+(0,b)), e \left[S_{1}\cup S_{2}\right] também é todo \mathbb{R}^{2}. Tudo bate com a igualdade. Se um dos conjuntos for vazio, por exemplo S_{1}=\varnothing, então \left[S_{1}\right]=\{0\} e a igualdade também continua verdadeira: \left[\varnothing\cup S_{2}\right]=\left[S_{2}\right]=\{0\}+\left[S_{2}\right].

Passo 6

Resumo e interpretação prática: a span do conjunto união é exatamente o menor subespaço que contém tanto S_{1} quanto S_{2}. Somar os spans individuais significa pegar qualquer vetor que dá para escrever com S_{1} mais qualquer vetor que dá para escrever com S_{2} — isto gera exatamente todas as combinações lineares possíveis com vetores de S_{1}\cup S_{2}. Por isso a igualdade é verdadeira. Força aí — é uma prova elegante e directinha que costuma cair em prova.

Resposta

Verdadeiro

Exercícios relacionados