Questão 3
Ainda não respondida
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Dados
e
subespaços de
. Temos que uma base para
é:
Escolha uma opção:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base para
.\n
Informações dadas:\n
.\n
.\n
Ou seja, é o plano
(plano
) e
é o plano onde a primeira e segunda coordenadas são iguais.
Informações dadas:\n
Ou seja,
Passo 2
Vamos escrever a forma geral de um vetor em
e em
.\n
Um vetor qualquer em tem a forma
porque
.\n
Um vetor qualquer em tem a forma
porque
; aqui estou usando parâmetros
e
para as coordenadas.
Um vetor qualquer em
Um vetor qualquer em
Passo 3
Agora imponho as duas condições ao mesmo tempo para achar
: o vetor deve ter
(condição de
) e
(condição de
).\n
Tomando a forma de , imponho
. Assim temos:
Tomando a forma de
Aqui só ficou o parâmetro
, pois
obrigou
.
Passo 4
A representação encontrada mostra que todo vetor de
é da forma
. Escrevemos isso como múltiplo escalar:
Portanto todo vetor em
é um múltiplo do vetor
.
Passo 5
Explico o que isso significa para a base (aula rápida e prática):\n
- Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço quando esses vetores geram (espalham) todo o subespaço e são linearmente independentes.\n
- Aqui vimos que qualquer vetor de
é , logo gera .\n - Verificamos a independência linear: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente (se
então ).\n
Logoé um conjunto gerador e linearmente independente — é, portanto, uma base.
Passo 6
Checando com um exemplo concreto para fixar (bem prático):\n
O vetor pertence a
porque tem
e
. E
. Simples assim — confirma que
gera os exemplos.
O vetor
Passo 7
Conclusão:
é a reta (subespaço unidimensional) gerada por
. Portanto uma base para
é
.
Resposta
(c)