Questão 3

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Dados U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z=0\right\} e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x=y\right\} subespaços de \mathbb{R}^{3}. Temos que uma base para U \cap W é:
Escolha uma opção:
◯ a. \{(-1,1,0)\}
◯ b. \{(1,0,0) ;(1,0,1)\}
◯ c. \{(1,1,0)\}
◯ d. \{(1,1,1)\}
◯ e. \{(1,1,0) ;(1,0,0) ;(1,1,1)\}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base para U\cap W.\n
Informações dadas:\n
U=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z=0\}.\n
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x=y\}.\n
Ou seja, U é o plano z=0 (plano xy) e W é o plano onde a primeira e segunda coordenadas são iguais.

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de um vetor em U e em W.\n
Um vetor qualquer em U tem a forma (x,y,0) porque z=0.\n
Um vetor qualquer em W tem a forma (t,t,s) porque x=y; aqui estou usando parâmetros t e s para as coordenadas.

Passo 3

Agora imponho as duas condições ao mesmo tempo para achar U\cap W: o vetor deve ter z=0 (condição de U) e x=y (condição de W).\n
Tomando a forma de W, imponho z=0. Assim temos:
(x,y,z)=(t,t,0).
Aqui só ficou o parâmetro t, pois z=0 obrigou s=0.

Passo 4

A representação encontrada mostra que todo vetor de U\cap W é da forma (t,t,0). Escrevemos isso como múltiplo escalar:
(t,t,0)=t(1,1,0).
Portanto todo vetor em U\cap W é um múltiplo do vetor (1,1,0).

Passo 5

Explico o que isso significa para a base (aula rápida e prática):\n
  • Um conjunto de vetores é uma base de um subespaço quando esses vetores geram (espalham) todo o subespaço e são linearmente independentes.\n
  • Aqui vimos que qualquer vetor de U\cap W é t(1,1,0), logo \{(1,1,0)\} gera U\cap W.\n
  • Verificamos a independência linear: um único vetor não nulo é sempre linearmente independente (se a(1,1,0)=(0,0,0) então a=0).\n
    Logo \{(1,1,0)\} é um conjunto gerador e linearmente independente — é, portanto, uma base.

Passo 6

Checando com um exemplo concreto para fixar (bem prático):\n
O vetor (2,2,0) pertence a U\cap W porque tem z=0 e x=y. E (2,2,0)=2(1,1,0). Simples assim — confirma que (1,1,0) gera os exemplos.

Passo 7

Conclusão: U\cap W é a reta (subespaço unidimensional) gerada por (1,1,0). Portanto uma base para U\cap W é \{(1,1,0)\}.

Resposta

(c) \{(1,1,0)\}

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