Questão 1

Ainda não respondida
Dentre os conjuntos a seguir, quais são bases para \circ \mathbb{R}^{3} ?

Escolha uma ou mais:

□ a.
B=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}
□ b.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}
□ c.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\}
□ d.
\boldsymbol{B}=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\}
□ e.
\boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0)\}
□ f.
\boldsymbol{B}=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\}
□ g.
\boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}
□ h.
\boldsymbol{B}=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}
□ i.
\boldsymbol{B}=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\}

Passo 1

O enunciado pede: dentre os conjuntos listados, quais são bases para \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas (copiando cada opção exatamente como está no enunciado):
\text{(a)}\; B=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}
\text{(b)}\; B=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}
\text{\text{(c)}}\; B=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\}
\text{(d)}\; B=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\}
\text{(e)}\; B=\{(1,0,1),(1,1,0)\}
\text{(f)}\; B=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\}
\text{(g)}\; B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}
\text{(h)}\; B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}
\text{(i)}\; B=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\}

Passo 2

O que significa ser uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar devagar e com carinho.
  • Definição prática: um conjunto B é base de \mathbb{R}^{3} se as suas vetores são linearmente independentes e geram (span) todo \mathbb{R}^{3}. Para vetores em \mathbb{R}^{3} isso equivale a ter exatamente 3 vetores e esses três serem linearmente independentes.
  • Linearmente independentes (L.I.): três vetores v_1,v_2,v_3 são L.I. se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Se existir alguma combinação não trivial que dê zero, eles são linearmente dependentes.
  • Critério prático com matrizes e determinante: coloque os três vetores como colunas (ou linhas) de uma matriz 3\times 3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Se o determinante for zero, são dependentes e não formam base.
  • Observações imediatas que já ajudam a eliminar opções:
    • Qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode ser base de \mathbb{R}^{3} (não geraria todo \mathbb{R}^{3}).
    • Qualquer conjunto com mais de 3 vetores em \mathbb{R}^{3} é automaticamente linearmente dependente (não pode ser base).
    • Se os vetores são múltiplos uns dos outros (todos colineares), também não formam base.
Agora vamos aplicar esse critério a cada opção, calculando determinantes quando houver três vetores.

Passo 3

Opção (a): B=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}. Coloco os vetores como colunas da matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante (expansão pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]3 & 4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 4\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Agora as pequenas determinantes:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]3 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-1\cdot3=4-3=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 4\end{pmatrix}=0\cdot4-1\cdot1=0-1=-1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 3\end{pmatrix}=0\cdot3-1\cdot1=0-1=-1.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot1 -2\cdot(-1) +3\cdot(-1)=1+2-3=0.
Como \det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. Conclusão: (a) não é base.]

Passo 4

Opção (b): B=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}. Observação rápida: o segundo vetor é 2 vezes o primeiro e o terceiro é 3 vezes o primeiro. Ou seja, todos são múltiplos de (1,2,3) — estão todos na mesma reta (colineares). Portanto são linearmente dependentes e não geram \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (b) não é base.

Passo 5

Opção (c): B=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\}. Montamos a matriz C com colunas os vetores:
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
Calculo o determinante (expansão pela primeira linha):
\det\text{(C)}=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]3 & 0\end{pmatrix} -0\cdot\det(\cdots) +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]1 & 3\end{pmatrix}.
Avalio os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]3 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot3=0-3=-3,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]1 & 3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5.
Então
\det\text{(C)}=1\cdot(-3)+2\cdot5=-3+10=7.
Como \det\text{(C)}=7\neq 0, os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (c) é base.]

Passo 6

Opção (d): B=\{(1,2,0),(2,4,1),(3,6,2)\}. Matriz D com colunas:
D=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 2 & 4 & 6\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculo do determinante (expansão pela primeira linha):
\det(D)=1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 6\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Menores:
\det\begin{pmatrix}4 & 6\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix}=4\cdot2-6\cdot1=8-6=2,
\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-6\cdot0=4-0=4,
\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-4\cdot0=2-0=2.
Logo
\det(D)=1\cdot2 -2\cdot4 +3\cdot2 = 2 -8 +6 =0.
Determinante zero → vetores dependentes → (d) não é base.]

Passo 7

Opção (e): B=\{(1,0,1),(1,1,0)\}. Aqui há apenas 2 vetores. Em \mathbb{R}^{3} para gerar todo o espaço precisamos de pelo menos 3 vetores (e, de fato, exatamente 3 para uma base). Portanto com apenas dois vetores não é possível gerar \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (e) não é base.

Passo 8

Opção (f): B=\{(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)\}. Matriz F:
F=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 3 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Determinante (expansão pela primeira linha):
\det(F)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[3pt]4 & 5\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[3pt]1 & 5\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[3pt]1 & 4\end{pmatrix}.
Calculo dos menores:
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\[3pt]4 & 5\end{pmatrix}=3\cdot5-4\cdot4=15-16=-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\[3pt]1 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-4\cdot1=5-4=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[3pt]1 & 4\end{pmatrix}=1\cdot4-3\cdot1=4-3=1.
Substituindo:
\det(F)=1\cdot(-1)-2\cdot1 +3\cdot1 = -1-2+3=0.
Determinante zero → vetores dependentes → (f) não é base.]

Passo 9

Opção (g): B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}. Matriz G:
G=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculo do determinante (expansão pela primeira linha):
\det(G)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix}=0\cdot1-1\cdot1=0-1=-1.
Logo
\det(G)=1 -1\cdot(-1)=1+1=2.
Como \det(G)=2\neq 0, os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (g) é base.]

Passo 10

Opção (h): B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}. Aqui temos 4 vetores em \mathbb{R}^{3}. Em espaço de dimensão 3 qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente (não há como ter mais do que 3 vetores linearmente independentes). Portanto (h) não pode ser base. Observação: mesmo se três dentre eles fossem base, o conjunto com quatro vetores passa a ser dependente por inclusão do quarto vetor.

Passo 11

Opção (i): B=\{(2,1,0),(1,1,1),(0,1,2)\}. Matriz I:
I=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculo do determinante (expansão pela primeira linha):
\det(I)=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2-0=2.
Substituindo:
\det(I)=2\cdot1 -1\cdot2 =2-2=0.
Determinante zero → vetores dependentes → (i) não é base.]

Resposta

c
g

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