O enunciado pede: dentre os conjuntos listados, quais são bases para \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas (copiando cada opção exatamente como está no enunciado):
O que significa ser uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar devagar e com carinho.
Definição prática: um conjunto B é base de \mathbb{R}^{3} se as suas vetores são linearmente independentes e geram (span) todo \mathbb{R}^{3}. Para vetores em \mathbb{R}^{3} isso equivale a ter exatamente 3 vetores e esses três serem linearmente independentes.
Linearmente independentes (L.I.): três vetores v_1,v_2,v_3 são L.I. se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \alpha_3 v_3 = 0
é \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0. Se existir alguma combinação não trivial que dê zero, eles são linearmente dependentes.
Critério prático com matrizes e determinante: coloque os três vetores como colunas (ou linhas) de uma matriz 3\times 3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de \mathbb{R}^{3}. Se o determinante for zero, são dependentes e não formam base.
Observações imediatas que já ajudam a eliminar opções:
Qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode ser base de \mathbb{R}^{3} (não geraria todo \mathbb{R}^{3}).
Qualquer conjunto com mais de 3 vetores em \mathbb{R}^{3} é automaticamente linearmente dependente (não pode ser base).
Se os vetores são múltiplos uns dos outros (todos colineares), também não formam base.
Agora vamos aplicar esse critério a cada opção, calculando determinantes quando houver três vetores.
Passo 3
Opção (a): B=\{(1,0,1),(2,1,3),(3,1,4)\}. Coloco os vetores como colunas da matriz A:
Como \det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. Conclusão: (a) não é base.]
Passo 4
Opção (b): B=\{(1,2,3),(2,4,6),(3,6,9)\}. Observação rápida: o segundo vetor é 2 vezes o primeiro e o terceiro é 3 vezes o primeiro. Ou seja, todos são múltiplos de (1,2,3) — estão todos na mesma reta (colineares). Portanto são linearmente dependentes e não geram \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (b) não é base.
Passo 5
Opção (c): B=\{(1,2,1),(0,1,3),(2,1,0)\}. Montamos a matriz C com colunas os vetores:
Determinante zero → vetores dependentes → (d) não é base.]
Passo 7
Opção (e): B=\{(1,0,1),(1,1,0)\}. Aqui há apenas 2 vetores. Em \mathbb{R}^{3} para gerar todo o espaço precisamos de pelo menos 3 vetores (e, de fato, exatamente 3 para uma base). Portanto com apenas dois vetores não é possível gerar \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (e) não é base.
Como \det(G)=2\neq 0, os vetores são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}. Conclusão: (g) é base.]
Passo 10
Opção (h): B=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(2,2,2)\}. Aqui temos 4 vetores em \mathbb{R}^{3}. Em espaço de dimensão 3 qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente (não há como ter mais do que 3 vetores linearmente independentes). Portanto (h) não pode ser base. Observação: mesmo se três dentre eles fossem base, o conjunto com quatro vetores passa a ser dependente por inclusão do quarto vetor.