Sabe-se que 40 \% dos universitários de São Paulo praticam algum tipo de esporte. Escolhendo-se, ao acaso, 15 universitários de São Paulo, determine:
a probabilidade de que no máximo 5 deles pratiquem algum esporte;

Passo 1

O enunciado diz que, em média, 40\% dos universitários praticam esporte. Ao escolher aleatoriamente 15 universitários, queremos a probabilidade de que no máximo 5 pratiquem esporte. Este é um problema de distribuição binomial, em que contamos o número de “sucessos” (praticantes de esporte) em n=15 tentativas independentes, cada uma com probabilidade p=0,4 de sucesso.

Passo 2

Seja X a variável aleatória que representa o número de universitários que praticam esporte entre os 15. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=15,\;p=0,4),
e a probabilidade de exatamente k praticantes é
P(X=k)=\binom{15}{k}(0,4)^{k}(0,6)^{15-k}.

Passo 3

Queremos
P(X\le5)=\sum_{k=0}^{5}P(X=k) =\sum_{k=0}^{5}\binom{15}{k}(0,4)^{k}(0,6)^{15-k}.

Passo 4

Calculando termo a termo (aproximações):
\begin{aligned} P(X=0)&=\binom{15}{0}(0,4)^{0}(0,6)^{15}\approx0,00047,\\\ P(X=1)&=\binom{15}{1}(0,4)^{1}(0,6)^{14}\approx0,00470,\\\ P(X=2)&=\binom{15}{2}(0,4)^{2}(0,6)^{13}\approx0,02192,\\\ P(X=3)&=\binom{15}{3}(0,4)^{3}(0,6)^{12}\approx0,06334,\\\ P(X=4)&=\binom{15}{4}(0,4)^{4}(0,6)^{11}\approx0,12670,\\\ P(X=5)&=\binom{15}{5}(0,4)^{5}(0,6)^{10}\approx0,18606. \end{aligned}
Somando esses valores, obtemos
P(X\le5)\approx0,00047+0,00470+0,02192+0,06334+0,12670+0,18606\approx0,4032.

Resposta

A probabilidade de que no máximo 5 dos 15 universitários pratiquem esporte é aproximadamente 0,4032.

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