Sabe-se que o campo
é um campo conservativo em
.
Calcule
, onde
é o arco de circunferência
, com
que vai de
a
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um campo vetorial conservativo em
e nos pede para calcular uma integral de linha ao longo de um arco de circunferência específico. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar um potencial para ele e usar o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial conservativo. Um campo $ F $ é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $. Isso significa que a integral de linha de $ F $ ao longo de qualquer curva depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Dado o campo $ F = \left(e^{x+y} + 1\right) \vec{i} + e^{x+y} \vec{j} $, vamos encontrar a função potencial $ \phi $. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Onde $ g(y) $ é uma função de $ y $. Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a
:
Isso implica que $ g’(y) = 0 $, então $ g(y) $ é uma constante. Podemos escolher $ g(y) = 0 $ para simplificar. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Agora que temos a função potencial $ \phi(x, y) = e^{x+y} + x $, podemos usar o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos. A integral de linha de $ F $ ao longo da curva $ r $ de um ponto $ A $ a um ponto $ B $ é dada por:
Passo 5
Identificamos os pontos inicial e final da curva $ r $. Segundo o enunciado, a curva vai de $ (1, 0) $ a $ (1, 1) $.
Calculando a função potencial nesses pontos:
Para $ A = (1, 0) $:
Para $ B = (1, 1) $:
Passo 6
Aplicando o teorema fundamental:
Resposta
A integral de linha é $ e^{2} - e $.