Sabe-se que o campo F=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
Calcule integralr F cdot d r, onde r é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um campo vetorial conservativo em R^2 e nos pede para calcular uma integral de linha ao longo de um arco de circunferência específico. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, como encontrar um potencial para ele e usar o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um campo vetorial conservativo. Um campo $ F $ é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $. Isso significa que a integral de linha de $ F $ ao longo de qualquer curva depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Dado o campo $ F = \left(e^{x+y} + 1\right) \vec{i} + e^{x+y} \vec{j} $, vamos encontrar a função potencial $ \phi $. Sabemos que:
F = (e^x+y + 1) i + e^x+y j
Integrando phi em relação a partial phipartial x = e^x+y + 1 e partial phipartial y = e^x+y :
partial phipartial x
Onde $ g(y) $ é uma função de $ y $. Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a x:
phi(x, y) = integral (e^x+y + 1) , dx = e^x+y + x + g(y)
Isso implica que $ g’(y) = 0 $, então $ g(y) $ é uma constante. Podemos escolher $ g(y) = 0 $ para simplificar. Portanto, a função potencial é:
g(y)

Passo 4

Agora que temos a função potencial $ \phi(x, y) = e^{x+y} + x $, podemos usar o teorema fundamental do cálculo para campos conservativos. A integral de linha de $ F $ ao longo da curva $ r $ de um ponto $ A $ a um ponto $ B $ é dada por:
phi(x, y) = e^x+y + x

Passo 5

Identificamos os pontos inicial e final da curva $ r $. Segundo o enunciado, a curva vai de $ (1, 0) $ a $ (1, 1) $.
Calculando a função potencial nesses pontos:
Para $ A = (1, 0) $:
r
Para $ B = (1, 1) $:
(1, 0)

Passo 6

Aplicando o teorema fundamental:
integralr F cdot dr = phi(B) - phi(A) = (e^2 + 1) - (e + 1) = e^2 - e

Resposta

A integral de linha é $ e^{2} - e $.

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