Calcule a integral dupla
, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região
.
é a região limitada pelas curvas
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de uma função simples sobre uma região plana R limitada por duas curvas. O conteúdo aqui é integração dupla e vamos precisar de: descobrir onde as curvas se cruzam, esboçar a região e escolher limites convenientes (integrar primeiro em x, depois em y, por exemplo).
Passo 2
Para achar os pontos de interseção entre a reta y = x – 2 e a parábola x = y², escrevemos x em função de y na reta: x = y + 2. Substituindo em x = y², temos y² = y + 2, isto é, y² – y – 2 = 0. Resolvendo, y = 2 ou y = –1. Correspondem a x = 4 e x = 1, respectivamente.
Passo 3
No esboço, a parábola x = y² abre para a direita e a reta x = y + 2 é uma linha de inclinação 1. A região R fica entre essas duas curvas, com y variando de –1 até 2, e para cada y, x vai de y² (fronteira esquerda) até y + 2 (fronteira direita).
Passo 4
Escrevemos a integral usando esses limites. Fica
Passo 5
Calculando a integral interna em x:
Passo 6
Agora a integral em y:
Passo 7
Integramos termo a termo:
Passo 8
Avaliando de –1 a 2: em y = 2 dá
; em y = -1 dá
. Subtraindo,
.