Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região R.
f(x, y)=y, R é a região limitada pelas curvas y=x-2 e x=y^2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de uma função simples sobre uma região plana R limitada por duas curvas. O conteúdo aqui é integração dupla e vamos precisar de: descobrir onde as curvas se cruzam, esboçar a região e escolher limites convenientes (integrar primeiro em x, depois em y, por exemplo).

Passo 2

Para achar os pontos de interseção entre a reta y = x – 2 e a parábola x = y², escrevemos x em função de y na reta: x = y + 2. Substituindo em x = y², temos y² = y + 2, isto é, y² – y – 2 = 0. Resolvendo, y = 2 ou y = –1. Correspondem a x = 4 e x = 1, respectivamente.

Passo 3

No esboço, a parábola x = y² abre para a direita e a reta x = y + 2 é uma linha de inclinação 1. A região R fica entre essas duas curvas, com y variando de –1 até 2, e para cada y, x vai de y² (fronteira esquerda) até y + 2 (fronteira direita).

Passo 4

Escrevemos a integral usando esses limites. Fica
integraly=-1^2 integralx=y^2^y+2 y ,dx,dy

Passo 5

Calculando a integral interna em x:
integraly^2^y+2 y ,dx = yl[xr]x=y^2^y+2 = yl((y+2)-y^2r)

Passo 6

Agora a integral em y:
integral-1^2 yl(y+2 - y^2r) ,dy = integral-1^2 (y^2 + 2y - y^3) ,dy

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral y^2 ,dy = tfracy^33, integral 2y ,dy = y^2, integral -y^3 ,dy = -tfracy^44

Passo 8

Avaliando de –1 a 2: em y = 2 dá 8/3 + 4 - 4 = 8/3; em y = -1 dá -1/3 + 1 - 1/4 = 5/12. Subtraindo, 8/3 - 5/12 = 27/12 = 9/4.

Resposta

integral duplaR y ,dA = 94

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