Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região R.
f(x, y)=y^2 e^x y, R é a região limitada por y=x, y=4 e x=0;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR f(x,y),dx,dy, onde f(x,y)=y^2e^xy e a região R é limitada pelas retas y=x, y=4 e x=0. O conteúdo envolve descrição de região no plano xy e cálculo de integrais duplas via integração iterada.

Passo 2

A região R tem vértices em (0,0), (0,4) e (4,4). Esboçando no plano, vemos que para cada y entre 0 e 4, x varia de 0 até y. Escrevendo a integral iterada em ordem dx,dy:
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integraly=0^4integralx=0^yy^2e^xy,dx,dy

Passo 3

Primeiro integramos em x:
integralx=0^yy^2e^xy,dx = y^2integral0^ye^xy,dx = y^2cdot1yl(e^xyr)|0^y = yl(e^y^2-1r)
Assim a integral torna-se
integral0^4yl(e^y^2-1r),dy

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
integral0^4y e^y^2,dy - integral0^4y,dy
Para a primeira, fazemos u=y^2, então du=2y,dy, o que dá:
integral0^4y e^y^2,dy = 12e^y^2|0^4 = 12(e^16-1)
E a segunda é
integral0^4y,dy = y^22|0^4 = 8

Passo 5

Subtraindo,
12(e^16-1) - 8 = e^16-1 -162 = e^16-172

Resposta

dfrace^16-172

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