Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 Kg . A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 Kg . Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado, tomando-se uma amostra de 25 indivíduos, e verificou-se que \sum_{i=1}^{25} X_{i}=180 \mathrm{Kg}, onde X_{i} representa o consumo mensal do i-ésimo indivíduo da amostra.
(a) Construa um teste de hipótese adequado, utilizando \alpha=0,05, e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria.
(b) Qual a probabilidade \beta de se tomar uma decisão errada se, na realidade, a média populacional para \mu=7,8 \mathrm{Kg} ?
(c) Se a diretoria tivesse fixado \alpha=0,01, a decisão seria a mesma? (Justifique sua resposta.)
(d) Se o desvio da população fosse 4 Kg , qual seria a decisão, com \alpha=0,05 ? (Justifique sua resposta.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que cada item pede.
  • Dados fornecidos:
    • Desvio padrão populacional: \sigma=2\\ \text{Kg}.
    • Tamanho da amostra: n=25.
    • Soma da amostra: \sum_{i=1}^{25} X_i = 180\\ \text{Kg}.
    • Nível de significância para (a): \alpha=0,05.
    • Regra da diretoria: retirar o produto se a média per capita for menor que 8\\ \text{Kg}; caso contrário, continuar a fabricar.
  • Pedidos:
    (a) Construir e aplicar um teste de hipótese com \alpha=0,05 e dizer a decisão da diretoria com base na amostra.
    (b) Calcular a probabilidade \beta de erro tipo II quando, na realidade, \mu=7,8\\ \text{Kg}.
    (c) Reavaliar a decisão se \alpha=0,01; justificar.
    (d) Reavaliar a decisão se o desvio padrão populacional fosse \sigma=4\\ \text{Kg}, com \alpha=0,05; justificar.

Passo 2

Explicação do método de teste de hipótese (passo-a-passo didático, sem pular etapas).
  • Ideia geral: Queremos testar se a média populacional \mu é menor que 8. Para isso montamos hipóteses: H_0:\\ \mu=8 \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\\ \mu<8.(Esta formulação é padrão para testar se a média é menor que um valor; poderíamos também escrever H_0:\mu\ge8 e H_1:\mu<8.)
  • Como \sigma é conhecida, usamos o teste-Z. A estatística de teste é a média amostral \overline{X} padronizada: Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},onde:
    • \overline{X} é a média amostral,
    • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui \mu_0=8),
    • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média.
  • Rejeitamos H_0 em favor de H_1 se Z < z_\alpha, onde z_\alpha é o quantil da normal padrão correspondente à cauda esquerda com área \alpha. Para \alpha=0,05, z_{0,05}\approx -1,645.

Passo 3

Calcular a média amostral \overline{X} e o erro padrão.
  • Média amostral: \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i=\frac{180}{25}=7,2\\ \text{Kg}.
  • Erro padrão da média (com \sigma=2 e n=25): \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}=0,4\\ \text{Kg}.

Passo 4

Aplicar o teste para (a) com \alpha=0,05.
  • Estatística Z: Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{7,2-8}{0,4}=\frac{-0,8}{0,4}=-2,0.
  • Regra crítica: rejeitar H_0 se Z<z_{0,05}\approx-1,645.
  • Comparação: -2,0 < -1,645, logo rejeitamos H_0. Interpretação prática: há evidência estatística, ao nível \alpha=0,05, de que a média per capita é menor que 8\\ \text{Kg}; portanto a diretoria deve retirar o produto da linha de produção.
  • Observação rápida sobre p-valor: p-valor =P(Z\le -2,0)\approx0,0228<0,05, o que confirma a rejeição (apenas referência).

Passo 5

Calcular \beta para (b) quando a verdadeira média é \mu=7,8\\ \text{Kg} (probabilidade de erro tipo II).
  • Primeiro identificamos a região de rejeição em termos de \overline{X}. Rejeitamos se Z<z_{0,05}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\overline{X}-8}{0,4}<-1,645.Isolando \overline{X}: \overline{X}<8 + (-1,645)\cdot0,4 = 8 - 0,658 = 7,342.Assim, critério: rejeitar H_0 se \overline{X}<7,342; caso contrário não rejeitar.
  • A probabilidade \beta é a probabilidade de NÃO rejeitar H_0 quando \mu=7,8. Ou seja, \beta = P\big(\overline{X}\ge 7,342 \mid \mu=7,8\big).
  • Sabendo que \overline{X}\sim N(\mu,\,\sigma_{\overline{X}}^2)=N(7,8,\,0,4^2), padronizamos: \beta = P\left(\frac{\overline{X}-7,8}{0,4}\ge\frac{7,342-7,8}{0,4}\right) = P\left(Z\ge\frac{-0,458}{0,4}\right) = P\big(Z\ge -1,145\big).
  • Usando simetria da normal: P(Z\ge -1,145)=1-P(Z<-1,145)=1-\Phi(-1,145)=\Phi(1,145).
  • Valor numérico aproximado: \Phi(1,145)\approx 0,874.
  • Conclusão: \beta\approx 0,874. (O poder do teste para \mu=7,8 é 1-\beta\approx 0,126, muito baixo.)

Passo 6

Reavaliar a decisão para (c) com \alpha=0,01.
  • Para \alpha=0,01, o quantil é z_{0,01}\approx -2,326.
  • Corte em termos de \overline{X}: \overline{X}<8 + (-2,326)\cdot0,4 = 8 - 0,9304 = 7,0696\\ (\text{aprox. }7,0696).
  • Nossa \overline{X}=7,2. Como 7,2 \not< 7,0696, não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,01.
  • Interpretação: com critério mais estrito ( \alpha=0,01) não há evidência suficiente para afirmar que a média é menor que 8; portanto, a decisão seria diferente: NÃO retirar o produto (continua-se a fabricar).

Passo 7

Reavaliar a decisão para (d) quando \sigma=4\\ \text{Kg} e \alpha=0,05.
  • Novo erro padrão: \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{4}{\sqrt{25}}=\dfrac{4}{5}=0,8.
  • Estatística Z com \overline{X}=7,2 e \mu_0=8: Z=\frac{7,2-8}{0,8}=\frac{-0,8}{0,8}=-1,0.
  • Para \alpha=0,05 o crítico continua z_{0,05}\approx-1,645.
  • Comparação: -1,0 > -1,645, ou seja, Z não está na região de rejeição. Logo NÃO rejeitamos H_0.
  • Interpretação: com maior desvio padrão ( \sigma=4) a variabilidade é maior, o teste fica menos sensível; com \alpha=0,05 não há evidência para afirmar que \mu<8, então a diretoria continuaria a fabricar o produto.

Resposta

(a) Rejeita-se H_0; decisão: retirar o produto da linha de produção.
(b) \beta\approx 0,874 (logo o poder é 1-\beta\approx 0,126).
(c) Não; com \alpha=0,01 não rejeita-se H_0 (decisão: continuar a fabricar).
(d) Com \sigma=4\\ \text{Kg} e \alpha=0,05 não rejeita-se H_0 (decisão: continuar a fabricar).

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