Qual deve ser o tamanho de uma amostra cujo desvio padrão é 10 para que a diferença da média amostral para a média da população, em valor absoluto, seja menor que 1, com coeficiente de confiança igual a:
?
Passo 1
O enunciado pede o tamanho da amostra necessário para que a diferença entre a média amostral e a média da população, em valor absoluto, seja menor que
com confiança de
. As informações fornecidas são:
- Desvio padrão populacional:
. - Erro máximo permitido (margem de erro):
. - Nível de confiança:
.
Passo 2
Entendimento do que significa "com confiança de
" e da fórmula que usamos.
Quando o desvio padrão populacional
é conhecido, um intervalo de confiança para a média tem a forma
Nesta expressão:
-
é a média amostral (variável aleatória). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a cauda superior tem área . -
é o desvio padrão da população (conhecido aqui). -
é o tamanho da amostra (o que queremos). - O termo
é a margem de erro .
O nível de confiança
está relacionado a
por:
- Para confiança
temos logo e . -
é o valor tal que para . Esse valor pode ser obtido em tabela ou com calculadora estatística; vale aproximadamente .
Passo 3
Relacionar margem de erro com
e isolar
.
Queremos que a margem de erro seja menor que
, isto é
Isolando
obtemos
e portanto
Passo 4
Substituir os números conhecidos.
Calcular o termo dentro do parêntese:
Agora elevar ao quadrado:
Passo 5
Interpretar o resultado numérico como tamanho de amostra inteiro.
O valor
é o número mínimo teórico; como
deve ser um inteiro e precisamos garantir que a margem de erro seja menor que
, escolhemos o inteiro imediatamente superior (arredondamento para cima). Logo
Resposta
664