Qual deve ser o tamanho de uma amostra cujo desvio padrão é 10 para que a diferença da média amostral para a média da população, em valor absoluto, seja menor que 1, com coeficiente de confiança igual a:
99 \% ?

Passo 1

O enunciado pede o tamanho da amostra necessário para que a diferença entre a média amostral e a média da população, em valor absoluto, seja menor que (1) com confiança de 99\%. As informações fornecidas são:
  • Desvio padrão populacional: \sigma = 10.
  • Erro máximo permitido (margem de erro): E = 1.
  • Nível de confiança: 99\%.

Passo 2

Entendimento do que significa "com confiança de 99\%" e da fórmula que usamos.
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, um intervalo de confiança para a média tem a forma
\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Nesta expressão:
  • \bar X é a média amostral (variável aleatória).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a cauda superior tem área \alpha/2.
  • \sigma é o desvio padrão da população (conhecido aqui).
  • n é o tamanho da amostra (o que queremos).
  • O termo z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é a margem de erro E.
O nível de confiança 1-\alpha está relacionado a z_{\alpha/2} por:
  • Para confiança 99\% temos 1-\alpha = 0{,}99 logo \alpha = 0{,}01 e \alpha/2 = 0{,}005.
  • z_{\alpha/2} é o valor tal que \Pr(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2 para Z\sim N(0,1). Esse valor pode ser obtido em tabela z ou com calculadora estatística; vale aproximadamente z_{0{,}005}\approx 2{,}576.

Passo 3

Relacionar margem de erro com n e isolar n.
Queremos que a margem de erro seja menor que E, isto é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando n obtemos
\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}
e portanto
n = \left(z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}\right)^{2}.

Passo 4

Substituir os números conhecidos.
z_{\alpha/2}\approx 2{,}576,\qquad \sigma=10,\qquad E=1
Calcular o termo dentro do parêntese:
z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}=2{,}576\cdot\frac{10}{1}=2{,}576\cdot10=25{,}76
Agora elevar ao quadrado:
n=\left(25{,}76\right)^{2}=663{,}5776

Passo 5

Interpretar o resultado numérico como tamanho de amostra inteiro.
O valor n=663{,}5776 é o número mínimo teórico; como n deve ser um inteiro e precisamos garantir que a margem de erro seja menor que 1, escolhemos o inteiro imediatamente superior (arredondamento para cima). Logo
n=664.

Resposta

664

Exercícios relacionados