Em um esforço para estimar a quantia gasta por cliente para jantar em um grande restaurante de Atlanta, foram coletados os dados de uma amostra de 49 clientes em um período de três semanas. Considere um desvio padrão da população de 2,50 dólares.
(a) Qual é o erro padrão da média?
(b) Se a média da amostra é de 22,60 dólares, qual é o intervalo de confiança de 95 \% pra a média da população?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra: n=49.
  • Desvio padrão da população: \sigma=2{,}50 dólares.
  • Média da amostra: \bar{x}=22{,}60 dólares.
  • Nível de confiança pedido: 95\%.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é o erro padrão da média?
(b) Usando \bar{x}=22{,}60, qual é o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional?

Passo 2

Explicação do que é o erro padrão e a fórmula que vamos usar.
O erro padrão da média (também chamado de erro padrão da estimativa de \bar{x}) mede quanto, em média, a média amostral varia de amostra para amostra. Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, a fórmula é:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde:
  • \text{SE} é o erro padrão da média,
  • \sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada de n.
Aqui temos \sigma=2{,}50 e n=49, e agora vamos aplicar a fórmula.

Passo 3

Cálculo do erro padrão passo a passo, de forma que dê para fazer mentalmente.
Primeiro, calcule a raiz quadrada de n:
\sqrt{n}=\sqrt{49}=7.
Agora escrevemos \sigma como fração para facilitar:
\sigma=2{,}50=\frac{5}{2}.
Aplicando a fórmula:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5/2}{7}=\frac{5}{14}.
Convertendo para decimal:
\frac{5}{14}\approx0{,}357142857\ldots
Arredondando razoavelmente (4 casas decimais) obtemos \text{SE}\approx0{,}3571 dólares.
Dica prática para a prova: reconhecer \frac{5}{14} permite fazer a conta sem calculadora; se preferir um arredondamento rápido, \text{SE}\approx0{,}36.

Passo 4

Qual distribuição e qual constante crítica usar para construir o intervalo de confiança de 95\%.
Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média deve usar a distribuição normal padrão (não o t). Para um intervalo bilateral de 95\%, o quantil crítico da normal padrão é
z_{\alpha/2}=z_{0{,}025}=1{,}96,
porque a cauda de cada lado tem área 0{,}025 (totalizando 0{,}05 fora do intervalo).
A fórmula do intervalo de confiança de 95\% é:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot\text{SE}.

Passo 5

Cálculo da margem de erro e do intervalo de confiança detalhado.
Margem de erro:
\text{ME}=z_{\alpha/2}\cdot\text{SE}=1{,}96\cdot\frac{5}{14}.
Calcule 1{,}96\cdot5=9{,}8. Então
\text{ME}=\frac{9{,}8}{14}=0{,}7.
(Controle mental: 9{,}8/14=(98/140)=0{,}7.)
Agora o intervalo:
\text{Limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=22{,}60-0{,}70=21{,}90,
\text{Limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=22{,}60+0{,}70=23{,}30.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% é [21{,}90,\\\ 23{,}30] dólares.

Passo 6

Interpretação e dica final para a prova (modo amigo e encorajador).
Interpretação: dizer que “estamos 95\% confiantes” significa que, se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo da mesma forma a partir de cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Não significa que há 95\% de probabilidade para a média estar no intervalo numa única amostra — é uma interpretação frequencista padrão, mas para a prática da prova a frase acima é suficiente.
Dicas rápidas para a prova:
  • Quando \sigma é conhecido, use z (normal); quando \sigma é desconhecido e n pequeno, use t.
  • Memorize z_{0{,}025}=1{,}96.
  • Transforme números em frações simples quando possível (como fizemos com 2{,}50=\tfrac{5}{2} e \sqrt{49}=7) para facilitar contas sem calculadora.
  • Arredonde só no final para minimizar erros.
Vai dar certo — você já tem as contas prontas e claras!

Resposta

(a) \text{SE}=\dfrac{5}{14}\approx0{,}3571 dólares
(b) Intervalo de confiança de 95\%: [21{,}90,\\\ 23{,}30] dólares

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