Sabe-se que A cup B cup C=n in N mid 1 <= n <= 10, A cap B=2,3,8, A cap C=2,7, B cap C=2,5,6 e A cup B=n in N mid 1 <= n <= 8.
Determine C .

Passo 1

Temos um problema de teoria de conjuntos envolvendo as operações de união e interseção. As informações fornecidas são A cup B cup C = n in N mid 1 <= n <= 10, A cap B = 2,3,8, A cap C = 2,7, B cap C = 2,5,6 e A cup B = n in N mid 1 <= n <= 8. Queremos encontrar o conjunto C. Vamos usar definições de união e interseção e raciocínio sobre inclusão de elementos.

Passo 2

Observando que A cup B = 1,dots,8 e que A cup B cup C = 1,dots,10, vemos que os elementos 9 e 10 não estão em A cup B. Para que eles apareçam na união total, devem pertencer a C. Logo, 9,10 in C.

Passo 3

Como todo elemento de 1,dots,8 já está em A ou em B (ou em ambos), se algum desses elementos estivesse em C ele apareceria em A cap C ou em B cap C. Sabendo que A cap C = 2,7 e B cap C = 2,5,6, concluímos que os únicos elementos de 1,dots,8 que estão em C são 2,5,6,7. Logo, C cap 1,dots,8 = 2,5,6,7.

Passo 4

Somando os resultados, temos que
C = 2,5,6,7 cup 9,10 = 2,5,6,7,9,10

Resposta

C = 2,5,6,7,9,10

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