Sabe-se que
, então podemos dizer que
? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado diz que a função
não existe (ou seja, não está definida) em um ponto
e pergunta se podemos afirmar que também não existe
. O tema aqui é definição de limite e domínio de definição de
. Para responder, vamos rever o que diz a definição de limite.
Passo 2
Pela definição, dizemos que
se, para todo
, existe
tal que sempre que
(isto é,
está num intervalo excluindo o próprio
), vale
Note que não há nenhuma exigência de que
exista ou seja igual a
: bastam valores de
em pontos distintos de
.
Passo 3
Como a existência de
só requisita valores de
em pontos próximos a
, mas distintos de
, fica claro que
pode deixar de existir sem impedir o limite. Um exemplo clássico é
em que não se define
. Mesmo assim,
Aqui
não existe, mas o limite quando
existe e vale
.
Passo 4
Portanto, não podemos afirmar que “se
então
”. A não existência de
não impede, em geral, a existência do limite de
quando
tende a
.
Resposta
Não. A definição de limite exige somente valores de
para
próximos, mas diferentes de
. Mesmo que
não exista, o limite
pode perfeitamente existir (por exemplo,
em
, que não está definida em
mas tem limite
em
).