Sabe-se que nexists f(x), então podemos dizer que nexists lim x a f(x)? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado diz que a função f não existe (ou seja, não está definida) em um ponto a e pergunta se podemos afirmar que também não existe limxto af(x). O tema aqui é definição de limite e domínio de definição de f. Para responder, vamos rever o que diz a definição de limite.

Passo 2

Pela definição, dizemos que
limxto af(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que sempre que 0<|x-a|<de<a (isto é, x está num intervalo excluindo o próprio a), vale
|f(x)-L|<varepsilon
Note que não há nenhuma exigência de que f(a) exista ou seja igual a L: bastam valores de f(x) em pontos distintos de a.

Passo 3

Como a existência de limxto af(x) só requisita valores de f em pontos próximos a a, mas distintos de a, fica claro que f(a) pode deixar de existir sem impedir o limite. Um exemplo clássico é
f(x)=sin xx, xneq 0,
em que não se define f(0). Mesmo assim,
limxto0sin xx=1
Aqui f(0) não existe, mas o limite quando xto0 existe e vale 1.

Passo 4

Portanto, não podemos afirmar que “se nexists f(a) então nexistslimxto af(x)”. A não existência de f(a) não impede, em geral, a existência do limite de f(x) quando x tende a a.

Resposta

Não. A definição de limite exige somente valores de f(x) para x próximos, mas diferentes de a. Mesmo que f(a) não exista, o limite limxto af(x) pode perfeitamente existir (por exemplo, f(x)=sin xx em xneq0, que não está definida em 0 mas tem limite 1 em 0).

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