Se lim x a f(x)=A, então f(a)=A? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se, sempre que
limxto af(x)=A, vale também que f(a)=A. O conteúdo aqui é limites de funções e o conceito de continuidade em um ponto.

Passo 2

Pela definição de limite,
limxto af(x)=A significa que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<de<a, temos |f(x)-A|<varepsilon. Note que essa definição só exige comportamento de f quando x se aproxima de a, não diz nada sobre o valor f(a).

Passo 3

Para ver que f(a) pode ser diferente de A, considere a função f definida por
,f(x)=x para xneq 0 e f(0)=1.
Então
limxto 0f(x)=0,
mas f(0)=1neq 0.

Passo 4

Isso mostra que, em geral, limxto af(x)=A não implica f(a)=A. A igualdade só ocorre se exigirmos ainda que f seja contínua em a, isto é, se além de
limxto af(x)=A
tivermos também
f(a)=A.

Resposta

Não necessariamente. A igualdade f(a)=A ocorre apenas se f for contínua em a.

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