Sabe-se que uma equação de Ricatti é da forma
. Se
é uma solução particular, então uma solução outra solução é dada por
, onde
deve ser determinada na equação inicial à partir de
. Mostre que assumindo
, a equação inicial é reduzida a uma Equação de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado considera a equação de Riccati
e diz que
é uma solução particular dessa equação, ou seja,
O objetivo é mostrar que, ao escrever
a equação em
se transforma numa equação de Bernoulli para
.
Passo 2
Definimos a nova função
Tomando derivada em relação a
, obtemos
Passo 3
Substituímos as expressões de
e
:
Passo 4
Ao expandir e cancelar termos iguais, sobra
Passo 5
A equação
é precisamente uma equação de Bernoulli de expoente
, pois tem a forma
com
,
(ou ajustando sinal) e
.
Resposta
Mostrou-se que, supondo
, a equação de Riccati transforma-se em
que é uma Equação de Bernoulli de expoente
.