Sabe-se que uma equação de Ricatti é da forma \frac{d y}{d x}=P(x)+Q(x) y+R(x) y^{2}. Se y_{1} é uma solução particular, então uma solução outra solução é dada por y=y_{1}+u, onde u deve ser determinada na equação inicial à partir de y_{1}. Mostre que assumindo y=y_{1}+u, a equação inicial é reduzida a uma Equação de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado considera a equação de Riccati
\frac{dy}{dx}=P(x)+Q(x)\,y+R(x)\,y^{2}
e diz que y_{1}(x) é uma solução particular dessa equação, ou seja,
\frac{dy_{1}}{dx}=P(x)+Q(x)\,y_{1}+R(x)\,y_{1}^{2}.
O objetivo é mostrar que, ao escrever
y=y_{1}+u,
a equação em y se transforma numa equação de Bernoulli para u.

Passo 2

Definimos a nova função
u(x)=y(x)-y_{1}(x).
Tomando derivada em relação a x, obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{dy}{dx}-\frac{dy_{1}}{dx}.

Passo 3

Substituímos as expressões de \tfrac{dy}{dx} e \tfrac{dy_{1}}{dx}:
\frac{du}{dx} =\bigl[P+Q(y_{1}+u)+R(y_{1}+u)^{2}\bigr] -\bigl[P+Q\,y_{1}+R\,y_{1}^{2}\bigr].

Passo 4

Ao expandir e cancelar termos iguais, sobra
\frac{du}{dx} =Q\,u+R\bigl(2y_{1}u+u^{2}\bigr) =\bigl(Q+2R\,y_{1}\bigr)u+R\,u^{2}.

Passo 5

A equação
\frac{du}{dx}=\bigl(Q(x)+2R(x)\,y_{1}(x)\bigr)\,u+R(x)\,u^{2}
é precisamente uma equação de Bernoulli de expoente 2, pois tem a forma
\frac{du}{dx}+a(x)\,u=b(x)\,u^{n}
com n=2, a(x)=-(Q+2R\,y_{1}) (ou ajustando sinal) e b(x)=R.

Resposta

Mostrou-se que, supondo y=y_{1}+u, a equação de Riccati transforma-se em
\frac{du}{dx}=\bigl(Q(x)+2R(x)\,y_{1}(x)\bigr)\,u+R(x)\,u^{2},
que é uma Equação de Bernoulli de expoente 2.

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