Questão (1(4 , 0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n+1} \frac{n+1}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n+1}{n^{2}}
é convergente ou divergente, sem usar o teste da razão nem da raiz. Este é um caso clássico de série alternante, então vamos aplicar o Critério de Leibniz (ou teste da série alternante).

Passo 2

Definimos o termo positivo
a_{n} = \frac{n+1}{n^{2}} = \frac1n + \frac1{n^2}.
Para usar o critério de Leibniz precisamos verificar duas coisas:
  1. \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.
  2. a_{n} é decrescente para n suficientemente grande.
– Primeiro,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac1n+\tfrac1{n^2}\Bigr) =0+0=0.
– Para a monotonicidade, comparamos a_{n+1} e a_{n}:
a_{n+1}=\frac{n+2}{(n+1)^{2}} \quad\text{e}\quad a_{n}=\frac{n+1}{n^{2}}.
Queremos ver se a_{n+1}\le a_{n}. Equivalente a
\frac{n+2}{(n+1)^{2}}\le\frac{n+1}{n^{2}} \;\Longleftrightarrow\; (n+2)\,n^{2}\le(n+1)^{3} \;\Longleftrightarrow\; n^{3}+2n^{2}\le n^{3}+3n^{2}+3n+1,
e de fato 0\le n^2+3n+1 para todo n\ge1. Logo, a_{n} é decrescente.

Passo 3

Pelo Critério de Leibniz, se (a_{n}) é positiva, decrescente e tende a zero, então a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}
converge. Portanto nossa série converge.

Passo 4

Para saber se a convergência é absoluta, olhamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\tfrac{n+1}{n^{2}}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^{2}} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac1n+\frac1{n^2}\Bigr).
Como \sum 1/n diverge (série harmônica), essa soma também diverge. Logo, não há convergência absoluta, mas sim convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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