Questão (1(4 , 0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, sem usar os testes da razão ou raiz.
Conteúdo: séries de termos positivos. Vamos usar aqui o teste da comparação com uma série-p (ou então o teste da integral) e propriedades de .
Conteúdo: séries de termos positivos. Vamos usar aqui o teste da comparação com uma série-p (ou então o teste da integral) e propriedades de
Passo 2
Observação fundamental: para
grande,
cresce mais devagar que qualquer potência positiva de
. Em particular, podemos mostrar que existe
tal que, para todo
,
De fato, a função
satisfaz
para
, e
. Assim, para
temos
.
Passo 3
Para
,
Logo, chamando
temos
para todo
.
Passo 4
Sabemos que a série
é convergente, pois é uma série-p com
. Pelo teste da comparação, isto implica que
também converge. Como a remoção de um número finito de termos (os índices
) não afeta a convergência, concluímos que
é convergente.
Resposta
A série
é convergente.