Questão (1(4 , 0)) : Determine, sem utilizar o teste da razão ou raiz, se cada série abaixo é convergente ou divergente (não é necessário exibir o limite).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{2}}
é convergente ou divergente, sem usar os testes da razão ou raiz.
Conteúdo: séries de termos positivos. Vamos usar aqui o teste da comparação com uma série-p (ou então o teste da integral) e propriedades de \ln(n).

Passo 2

Observação fundamental: para n grande, \ln(n) cresce mais devagar que qualquer potência positiva de n. Em particular, podemos mostrar que existe N tal que, para todo n\ge N,
\ln(n)\le \sqrt{n}.
De fato, a função f(x)=\sqrt{x}-\ln(x) satisfaz f'(x)=\tfrac1{2\sqrt{x}}-\tfrac1x>0 para x>4, e f(4)=2-\ln(4)>0. Assim, para n\ge4 temos \sqrt{n}\ge\ln(n).

Passo 3

Para n\ge 4,
\frac{\ln(n)}{n^2}\;\le\;\frac{\sqrt{n}}{n^2} \;=\;\frac{1}{n^{3/2}}.
Logo, chamando
a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \quad\text{e}\quad b_n = \frac{1}{n^{3/2}},
temos 0\le a_n\le b_n para todo n\ge4.

Passo 4

Sabemos que a série
\sum_{n=4}^\infty b_n = \sum_{n=4}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}
é convergente, pois é uma série-p com p=\tfrac32>1. Pelo teste da comparação, isto implica que
\sum_{n=4}^\infty a_n
também converge. Como a remoção de um número finito de termos (os índices 2,3) não afeta a convergência, concluímos que
\sum_{n=2}^\infty \frac{\ln(n)}{n^2}
é convergente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{2}} é convergente.

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