Sabe-se por espectroscopia que a molécula de nitrogênio possui uma sequência de estados vibracionais excitados com energias
E_{r}=\hbar \omega\left(r+\frac{1}{2}\right), \quad r=0,1,2, \ldots
Se o espaçamento entre níveis \hbar \omega é 0,3 \mathrm{eV}, quais são as populações relativas do primeiro estado excitado (r=1) e do estado fundamental (r=0), se o gás está em equilíbrio térmico a 1000 K ?

Passo 1

O enunciado dá as energias vibracionais
E_{r}=\hbar\omega\left(r+\frac{1}{2}\right),\quad r=0,1,2,\ldots
e informa que o espaçamento entre níveis é \hbar\omega=0,3\\ \mathrm{eV}. A temperatura do gás em equilíbrio térmico é T=1000\\ \mathrm{K}. A pergunta é: qual é a população relativa do primeiro estado excitado ( r=1) em relação ao estado fundamental ( r=0), ou seja, calcular \dfrac{N_{1}}{N_{0}}.

Passo 2

Em equilíbrio térmico as populações seguem a distribuição de Boltzmann. Se os níveis não têm degeneração diferente (vibração simples: mesma degeneração), a razão entre populações é dada por
\frac{N_{1}}{N_{0}}=\exp\!\left(-\frac{E_{1}-E_{0}}{k_{B}T}\right).
Aqui:
  • E_{1} e E_{0} são as energias dos níveis r=1 e r=0;
  • k_{B} é a constante de Boltzmann;
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Expliquei cada variável para que não haja dúvida sobre o que entra na fórmula.

Passo 3

Calculo da diferença de energia entre os dois níveis. Usando a expressão dada,
E_{1}-E_{0}=\hbar\omega
e o enunciado dá \hbar\omega=0,3\\ \mathrm{eV}. Para usar diretamente em eV é prático usar k_{B} em unidades de eV/K:
k_{B}=8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K}.
Agora calculo k_{B}T:
k_{B}T=(8{,}617\times10^{-5}\\ \mathrm{eV/K})\times(1000\\ \mathrm{K})=0{,}08617\\ \mathrm{eV}.

Passo 4

Substituo na fórmula da razão de Boltzmann:
\frac{N_{1}}{N_{0}}=\exp\!\left(-\frac{0{,}3\\ \mathrm{eV}}{0{,}08617\\ \mathrm{eV}}\right) =\exp\!\left(-3{,}482\ldots\right).
Calculemos o exponencial (mostrando que não é necessário converter para joule se se usa k_{B} em eV/K):
\exp\!\left(-3{,}482\right)\approx0{,}0307.
Isso significa que, a 1000\\ \mathrm{K}, a população do primeiro estado vibracional é cerca de 3{,}07\% da população do estado fundamental.

Resposta

\dfrac{N_{1}}{N_{0}}\approx0{,}0307

Exercícios relacionados