Um sistema possui três níveis de energia
e
, com degenerescências
e
. Determine a capacidade térmica do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três níveis de energia e suas degenerescências, e pede a capacidade térmica do sistema.
Dados fornecidos:
- Níveis de energia:
. - Degenerescências:
.
O que é pedido:
- Determinar a capacidade térmica
do sistema (capacidade térmica no ensemble canônico, isto é ) em função de , e da constante de Boltzmann .
Passo 2
Vamos montar a ferramenta básica: o ensemble canônico. Explicando devagar:
- Em equilíbrio térmico a temperatura
, cada microestado com energia tem probabilidade proporcional a , onde
- Quando há degenerescência
(ou seja, microestados com a mesma energia), todas essas contribuem somadas. - A função partição é a soma ponderada das contribuições de todos os estados:
Aplicando aos nossos níveis:
Para simplificar, defino
Então
Passo 3
Agora calculamos a energia média
. A fórmula geral é
Aplicando aos níveis:
Cancelando o fator
do numerador e do denominador:
Passo 4
Para obter a capacidade precisamos também de
(ou usar derivadas). Calculamos
pela definição:
Substituindo:
Cancelando
:
Passo 5
A variância de energia é
Substituindo as expressões obtidas:
Para simplificar fazemos a redução algébrica. Colocando sobre um denominador comum
temos:
Calculando os dois termos separadamente:
(1)
(2)
Subtraindo (1) - (2) obtemos
Portanto
Passo 6
Relação entre variância e capacidade térmica no ensemble canônico:
- Uma fórmula muito prática é
onde
. Vou justificar de forma rápida e intuitiva:
, então
. Usando
e
chega-se à fórmula acima. Não se assuste; o que importa é que dá uma forma simples para
em termos da variância.
Agora aplicamos:
Lembrando
e
, podemos escrever de formas equivalentes. Uma versão compacta é
Passo 7
Reescrevendo em função explícita de
(substituindo
e
):
Observações rápidas (úteis para a prova):
- Em temperaturas muito baixas (
) a exponencial domina e . - Em temperaturas muito altas (
) o fator domina e também . Assim a capacidade tem um pico em temperatura intermediária.