Um sistema possui três níveis de energia E_{1}=\varepsilon, E_{2}=2 \varepsilon e E_{3}=3 \varepsilon, com degenerescências g\left(E_{1}\right)= g\left(E_{3}\right)=1 e g\left(E_{2}\right)=2. Determine a capacidade térmica do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três níveis de energia e suas degenerescências, e pede a capacidade térmica do sistema.
Dados fornecidos:
  • Níveis de energia: \,E_{1}=\varepsilon,\; E_{2}=2\varepsilon,\; E_{3}=3\varepsilon\,.
  • Degenerescências: \,g(E_{1})=1,\; g(E_{2})=2,\; g(E_{3})=1\,.
O que é pedido:
  • Determinar a capacidade térmica C do sistema (capacidade térmica no ensemble canônico, isto é C=\dfrac{d\langle E\rangle}{dT}) em função de \varepsilon, T e da constante de Boltzmann k_{B}.

Passo 2

Vamos montar a ferramenta básica: o ensemble canônico. Explicando devagar:
  • Em equilíbrio térmico a temperatura T, cada microestado com energia E tem probabilidade proporcional a \exp(-\beta E), onde
\beta=\dfrac{1}{k_{B}T}.
  • Quando há degenerescência g(E) (ou seja, g microestados com a mesma energia), todas essas contribuem somadas.
  • A função partição é a soma ponderada das contribuições de todos os estados:
Z=\sum_{i} g(E_{i})\,e^{-\beta E_{i}}.
Aplicando aos nossos níveis:
Z = 1\cdot e^{-\beta\varepsilon} + 2\cdot e^{-2\beta\varepsilon} + 1\cdot e^{-3\beta\varepsilon}.
Para simplificar, defino
x \equiv e^{-\beta\varepsilon}=e^{-\varepsilon/(k_{B}T)}.
Então
Z = x + 2x^{2} + x^{3} = x\,(1+2x+x^{2}) = x(1+x)^{2}.

Passo 3

Agora calculamos a energia média \langle E\rangle. A fórmula geral é
\langle E\rangle = \dfrac{1}{Z}\sum_{i} g(E_{i})\,E_{i}\,e^{-\beta E_{i}}.
Aplicando aos níveis:
\langle E\rangle = \dfrac{\varepsilon\cdot 1\cdot x + 2\varepsilon\cdot 2\cdot x^{2} + 3\varepsilon\cdot 1\cdot x^{3}}{Z} = \dfrac{\varepsilon\,(x + 4x^{2} + 3x^{3})}{x(1+x)^{2}}.
Cancelando o fator x do numerador e do denominador:
\langle E\rangle = \varepsilon\,\dfrac{1 + 4x + 3x^{2}}{(1+x)^{2}}.

Passo 4

Para obter a capacidade precisamos também de \langle E^{2}\rangle (ou usar derivadas). Calculamos \langle E^{2}\rangle pela definição:
\langle E^{2}\rangle = \dfrac{1}{Z}\sum_{i} g(E_{i})\,E_{i}^{2}\,e^{-\beta E_{i}}.
Substituindo:
\langle E^{2}\rangle = \dfrac{\varepsilon^{2}\,(1\cdot x + 2^{2}\cdot 2\cdot x^{2} + 3^{2}\cdot 1\cdot x^{3})}{Z} = \dfrac{\varepsilon^{2}\,(x + 8x^{2} + 9x^{3})}{x(1+x)^{2}}.
Cancelando x:
\langle E^{2}\rangle = \varepsilon^{2}\,\dfrac{1 + 8x + 9x^{2}}{(1+x)^{2}}.

Passo 5

A variância de energia é
\mathrm{Var}(E)=\langle E^{2}\rangle - \langle E\rangle^{2}.
Substituindo as expressões obtidas:
\mathrm{Var}(E) = \varepsilon^{2}\left[\dfrac{1 + 8x + 9x^{2}}{(1+x)^{2}} - \left(\dfrac{1 + 4x + 3x^{2}}{(1+x)^{2}}\right)^{2}\right].
Para simplificar fazemos a redução algébrica. Colocando sobre um denominador comum (1+x)^{4} temos:
\mathrm{Var}(E)=\dfrac{\varepsilon^{2}}{(1+x)^{4}}\Big[ (1+8x+9x^{2})(1+x)^{2} - (1+4x+3x^{2})^{2}\Big].
Calculando os dois termos separadamente:
(1) (1+8x+9x^{2})(1+x)^{2} = 1 + 10x + 26x^{2} + 26x^{3} + 9x^{4}.
(2) (1+4x+3x^{2})^{2} = 1 + 8x + 22x^{2} + 24x^{3} + 9x^{4}.
Subtraindo (1) - (2) obtemos
(1+8x+9x^{2})(1+x)^{2} - (1+4x+3x^{2})^{2} = 2x + 4x^{2} + 2x^{3} = 2x(1+2x+x^{2}) = 2x(1+x)^{2}.
Portanto
\mathrm{Var}(E)=\dfrac{\varepsilon^{2}}{(1+x)^{4}}\cdot 2x(1+x)^{2} = 2\varepsilon^{2}\,\dfrac{x}{(1+x)^{2}}.

Passo 6

Relação entre variância e capacidade térmica no ensemble canônico:
  • Uma fórmula muito prática é
C \equiv \dfrac{d\langle E\rangle}{dT} = k_{B}\beta^{2}\,\mathrm{Var}(E),
onde \beta=1/(k_{B}T). Vou justificar de forma rápida e intuitiva: \langle E\rangle = -\partial_{\beta}\ln Z, então \partial_{\beta}\langle E\rangle = -\partial_{\beta}^{2}\ln Z = -(\langle E^{2}\rangle-\langle E\rangle^{2}). Usando d/dT=(d\beta/dT)\,d/d\beta e d\beta/dT=-1/(k_{B}T^{2}) chega-se à fórmula acima. Não se assuste; o que importa é que dá uma forma simples para C em termos da variância.
Agora aplicamos:
C = k_{B}\beta^{2}\cdot 2\varepsilon^{2}\,\dfrac{x}{(1+x)^{2}}.
Lembrando \beta\varepsilon = \dfrac{\varepsilon}{k_{B}T} e x=e^{-\beta\varepsilon}, podemos escrever de formas equivalentes. Uma versão compacta é
C = 2k_{B}\,(\beta\varepsilon)^{2}\,\dfrac{e^{-\beta\varepsilon}}{\bigl(1+e^{-\beta\varepsilon}\bigr)^{2}}.

Passo 7

Reescrevendo em função explícita de T (substituindo \beta=1/(k_{B}T) e x=e^{-\varepsilon/(k_{B}T)}):
C = 2\,\dfrac{\varepsilon^{2}}{k_{B}T^{2}}\;\dfrac{e^{-\varepsilon/(k_{B}T)}}{\bigl(1+e^{-\varepsilon/(k_{B}T)}\bigr)^{2}}.
Observações rápidas (úteis para a prova):
  • Em temperaturas muito baixas ( k_{B}T\ll\varepsilon) a exponencial domina e C\to 0.
  • Em temperaturas muito altas ( k_{B}T\gg\varepsilon) o fator (\varepsilon/(k_{B}T))^{2} domina e também C\to 0. Assim a capacidade tem um pico em temperatura intermediária.

Resposta

C = 2k_{B}\,(\beta\varepsilon)^{2}\,\dfrac{e^{-\beta\varepsilon}}{\bigl(1+e^{-\beta\varepsilon}\bigr)^{2}} = 2\,\dfrac{\varepsilon^{2}}{k_{B}T^{2}}\;\dfrac{e^{-\varepsilon/(k_{B}T)}}{\bigl(1+e^{-\varepsilon/(k_{B}T)}\bigr)^{2}}.

Exercícios relacionados