Sabe-se que uma função diferenciável f(x), definida para x>0, tem a seguinte propriedade: a interseção entre a reta tangente ao gráfico de f que passa pelo ponto (x, f(x)) e o eixo y é um ponto da forma ( 0,-3 x^{4} ).
(a) ( 1,5 ponto) Determine a EDO satisfeita por uma função f como acima.
(b) ( 1,0 ponto) Determine todas as funções f possíveis que satisfazem a propriedade enunciada.
(c) ( 0,5 ponto) Qual das funções do enunciado passa pelo ponto ( 1,1 )?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: existe uma função diferenciável f(x), definida para x>0.
  • Propriedade dada: a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x,f(x)) intercepta o eixo y no ponto (0,-3x^{4}). (Essa propriedade vale para cada x>0.)
  • Pedidos:
    (a) determinar a equação diferencial (EDO) satisfeita por f;
    (b) determinar todas as funções f que satisfazem essa propriedade;
    (c) dentre essas funções, qual passa por (1,1).

Passo 2

Escrevendo a equação da reta tangente e extraindo a interseção com o eixo y.
  • A derivada f'(x) é a inclinação da reta tangente em (x,f(x)).
  • A equação da reta tangente, usando uma variável genérica t para o eixo x, é
y - f(x) = f'(x)\bigl(t - x\bigr).
  • A interseção com o eixo y ocorre em t=0. Substituindo t=0 obtemos a ordenada do ponto onde a tangente corta o eixo y:
y(0)=f(x)-x\,f'(x).
  • Pelo enunciado essa ordenada é -3x^{4}. Logo, para todo x>0,
f(x)-x\,f'(x)=-3x^{4}.

Passo 3

Reescrevendo a EDO numa forma padrão.
  • A equação
f(x)-x\,f'(x)=-3x^{4}
pode ser rearranjada isolando f'(x). Multiplicando por -1 e dividindo por x (válido porque x>0):
x\,f'(x)-f(x)=3x^{4}
\Rightarrow f'(x)-\frac{1}{x}f(x)=3x^{3}.
  • Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato padrão
f'(x)+p(x)f(x)=q(x),
com p(x)=-\dfrac{1}{x} e q(x)=3x^{3}.

Passo 4

Explicando o método de fator integrante e calculando-o.
  • Para resolver uma EDO linear de primeira ordem usa-se o fator integrante \mu(x)=\exp\!\biggl(\int p(x)\,dx\biggr).
  • Aqui p(x)=-\dfrac{1}{x}. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln x)=x^{-1},
válido para x>0 (por isso o domínio foi importante).
  • Multiplicando a EDO por \mu(x)=\dfrac{1}{x} obtemos
\frac{1}{x}f'(x)-\frac{1}{x^{2}}f(x)=3x^{2}.
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada de \dfrac{f(x)}{x}, porque
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=\frac{f'(x)\,x - f(x)}{x^{2}}=\frac{1}{x}f'(x)-\frac{1}{x^{2}}f(x).

Passo 5

Integrando e obtendo a solução geral.
  • A igualdade anterior pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{x}\right)=3x^{2}.
  • Integramos ambos os lados em x:
\frac{f(x)}{x}=\int 3x^{2}\,dx = x^{3}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Multiplicando por x obtemos a família de soluções
f(x)=x^{4}+C x,\qquad C\in\mathbb{R},
válida para x>0.

Passo 6

Verificação rápida e parte (c): aplicar a condição (1,1).
  • Verificação: para f(x)=x^{4}+C x temos f'(x)=4x^{3}+C. Então
f(x)-x f'(x)=\bigl(x^{4}+C x\bigr)-x\bigl(4x^{3}+C\bigr)=x^{4}+Cx-4x^{4}-Cx=-3x^{4},
confirma a propriedade exigida.
  • Agora impondo f(1)=1 (parte (c)):
1 = f(1)=1^{4}+C\cdot 1 = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Portanto a função da família que passa por (1,1) é
f(x)=x^{4}.

Resposta

(a) \;f'(x)-\dfrac{1}{x}f(x)=3x^{3}.
(b) \;f(x)=x^{4}+C x,\quad C\in\mathbb{R}.
(c) \;f(x)=x^{4}.

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