Sabe-se que uma função diferenciável
, definida para
, tem a seguinte propriedade: a interseção entre a reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto
e o eixo
é um ponto da forma (
).
(a) ( 1,5 ponto) Determine a EDO satisfeita por uma função
como acima.
(b) ( 1,0 ponto) Determine todas as funções
possíveis que satisfazem a propriedade enunciada.
(c) ( 0,5 ponto) Qual das funções do enunciado passa pelo ponto ( 1,1 )?
(a) ( 1,5 ponto) Determine a EDO satisfeita por uma função
(b) ( 1,0 ponto) Determine todas as funções
(c) ( 0,5 ponto) Qual das funções do enunciado passa pelo ponto ( 1,1 )?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: existe uma função diferenciável
, definida para . - Propriedade dada: a reta tangente ao gráfico de
no ponto intercepta o eixo no ponto . (Essa propriedade vale para cada .) - Pedidos:
(a) determinar a equação diferencial (EDO) satisfeita por;
(b) determinar todas as funçõesque satisfazem essa propriedade;
(c) dentre essas funções, qual passa por.
Passo 2
Escrevendo a equação da reta tangente e extraindo a interseção com o eixo
.
- A derivada
é a inclinação da reta tangente em . - A equação da reta tangente, usando uma variável genérica
para o eixo , é
- A interseção com o eixo
ocorre em . Substituindo obtemos a ordenada do ponto onde a tangente corta o eixo :
- Pelo enunciado essa ordenada é
. Logo, para todo ,
Passo 3
Reescrevendo a EDO numa forma padrão.
- A equação
pode ser rearranjada isolando
. Multiplicando por
e dividindo por
(válido porque
):
- Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato padrão
com
e
.
Passo 4
Explicando o método de fator integrante e calculando-o.
- Para resolver uma EDO linear de primeira ordem usa-se o fator integrante
. - Aqui
. Então
válido para
(por isso o domínio foi importante).
- Multiplicando a EDO por
obtemos
- O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, porque
Passo 5
Integrando e obtendo a solução geral.
- A igualdade anterior pode ser escrita como
- Integramos ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
- Multiplicando por
obtemos a família de soluções
válida para
.
Passo 6
Verificação rápida e parte (c): aplicar a condição
.
- Verificação: para
temos . Então
confirma a propriedade exigida.
- Agora impondo
(parte (c)):
- Portanto a função da família que passa por
é
Resposta
(a)
(b)
(c)