Nas séries abaixo, b é um número real positivo. Sabe-se que os raios de convergência das séries de potências abaixo valem 1. Cada um dos três itens abaixo vale 0,5 ponto.
Determine o intervalo de convergência da série.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine o intervalo de convergência da série” para três séries, sabendo que b>0 e que os raios de convergência das séries de potências valem 1. Informações relevantes fornecidas:
  • Há três séries (não foram incluídas no enunciado que você me enviou).
  • b é um número real positivo ( b>0).
  • O raio de convergência de cada série é 1.
Observação importante: não foi enviado o termo geral de nenhuma das séries. Sem saber os coeficientes (o a_n que aparece na série de potências) não é possível decidir, caso a caso, se as extremidades do intervalo de raio 1 pertencem ao conjunto de convergência. Por isso, não dá para dar a resposta exata para cada um dos três itens sem os enunciados das séries.

Passo 2

O que significa, na prática, "raio de convergência igual a 1" e o que já sabemos automaticamente:
  • Uma série de potências centrada em 0 com raio R=1 converge para todo x com |x|<1 e diverge para todo x com |x|>1.
  • Portanto, sem testar nada mais, sabemos que o intervalo de convergência contém ao menos (-1,1).
    Observação: se a série estiver centrada em um ponto x_0\neq0, a ideia é idêntica trocando |x| por |x-x_0|; aqui vou assumir centro 0 porque isso é o caso mais comum.
Mas o que falta decidir são as extremidades x=1 e x=-1. Essas inclusões dependem dos coeficientes da série (dos a_n). Por isso a verificação de cada extremidade é obrigatória e feita caso a caso.

Passo 3

Como testar as extremidades \,x=1 e \,x=-1:
  • Substituir x=1 transforma a série de potências em \sum_{n} a_n. Para essa série de termos reais positivos ou não, aplicar os testes usuais de séries numéricas: comparação, integral, teste da raiz ou da razão (se aplicável), critério de Cauchy, teste da condensação de Cauchy (útil para termos do tipo 1/n^p), etc.
  • Substituir x=-1 transforma a série em \sum_{n} (-1)^n a_n. Para essa série com sinais alternados, as principais ferramentas são:
    • Teste de Leibniz (teste da série alternada): se (a_n) é positivo, monótono decrescente e \lim_{n\to\infty} a_n = 0, então \sum (-1)^n a_n converge (pode ser condicional).
    • Testar convergência absoluta: \sum |(-1)^n a_n| = \sum |a_n|. Se \sum |a_n| converge então a série converge absolutamente; caso contrário pode convergir condicionalmente (ou divergir).
  • Em resumo: com raio 1, intervalo padrão é (-1,1); para decidir inclusão de -1 e 1 substitui-se e aplica-se os testes numéricos adequados usando os coeficientes a_n.

Passo 4

Vou ensinar, passo a passo, com um exemplo clássico que usa o parâmetro b>0 e que aparece frequentemente em provas: a família
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^{b}}.
Este exemplo ilustra exatamente como o valor de b afeta os extremos quando o raio é 1.
a) Mostrar que o raio é 1.
  • Tome a_n=\dfrac{1}{n^{b}}. Usando o teste da raiz (ou razão), calcula-se
\lim_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{1/n} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^{b}}\right)^{1/n} = \lim_{n\to\infty} n^{-b/n}.
Como \lim_{n\to\infty} b/n = 0, obtemos \lim_{n\to\infty} n^{-b/n}=1. Assim o raio de convergência é R=\dfrac{1}{1}=1. (Regra: R=1/\limsup |a_n|^{1/n}.)
b) Testar x=1: série torna-se a série p
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{b}}.
  • Pelo teste integral (ou pelo critério da série p), essa série converge se, e somente se, b>1. Se b\le 1 diverge. Explicando o teste integral rapidamente: comparar \sum 1/n^{b} com \int_1^{\infty} x^{-b}\,dx, que é finita só quando b>1.
c) Testar x=-1: série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{b}}.
  • Verificar as hipóteses do teste de Leibniz: a_n=1/n^{b} é positivo, monotonicamente decrescente (para b>0 e n suficientemente grande) e \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Logo, pelo teste de Leibniz, \sum (-1)^n/n^{b} converge para todo b>0.
  • Sobre convergência absoluta em x=-1: isto equivale a \sum 1/n^{b}, que converge apenas se b>1. Portanto:
    • Se b>1: converge absolutamente em x=1 e em x=-1; ambos os extremos entram no intervalo de convergência.
    • Se 0<b\le 1: em x=1 a série diverge; em x=-1 a série converge, mas apenas condicionalmente (não absolutamente).
d) Conclusão do exemplo \sum x^n/n^b:
  • Se b>1: intervalo de convergência é [-1,1].
  • Se 0<b\le 1: intervalo de convergência é [-1,1) (ou seja, -1 incluído, 1 excluído).
Este exemplo é muito didático porque combina o parâmetro b com o comportamento nas extremidades.

Passo 5

Outros exemplos de comportamento nas extremidades (para solidificar a intuição):
  • Se os coeficientes decaem mais devagar, por exemplo a_n=1/\ln(n) (não exatamente uma potência), então mesmo em x=-1 pode divergir; é necessário verificar monotonia e limite de a_n e usar comparação/condensação.
  • Se os coeficientes tiverem fator alternante já dentro (por exemplo a_n = (-1)^n/n^b), a substituição em x=\pm1 muda o padrão de sinais e é preciso reavaliar os testes citados.
  • Em algumas séries, ambos os extremos podem ser excluídos; em outras, ambos podem ser incluídos; e em muitas situações um extremo sim e o outro não — por isso o teste direto em cada extremo é obrigatório.

Passo 6

Resumo prático que você pode aplicar numa prova (checklist):
  1. Confirme o centro da série; supondo centro 0, com raio 1 já sabe que converge em todo (-1,1).
  2. Substitua x=1: a série vira \sum a_n. Use comparação, integral, p-série, raiz/razão para decidir converge/diverge.
  3. Substitua x=-1: a série vira \sum (-1)^n a_n. Primeiro tente o teste de Leibniz (se a_n\ge0, decresce e tende a 0 então converge). Depois verifique convergência absoluta testando \sum |a_n|.
  4. Declare o intervalo final com a inclusão/exclusão adequada dos extremos.

Resposta

Não é possível determinar os intervalos de convergência dos três itens porque o enunciado recebido não contém os termos gerais das séries.
Regra geral: com raio 1 (centro 0) a série converge em (-1,1); a inclusão de x=1 e x=-1 depende dos coeficientes a_n e deve ser verificada substituindo e aplicando testes numéricos.
Exemplo ilustrativo: para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^{b}} com b>0:
  • Se b>1: intervalo de convergência é [-1,1].
  • Se 0<b\le 1: intervalo de convergência é [-1,1).

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