Nas séries abaixo,
é um número real positivo. Sabe-se que os raios de convergência das séries de potências abaixo valem 1. Cada um dos três itens abaixo vale 0,5 ponto.
Determine o intervalo de convergência da série.
Determine o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine o intervalo de convergência da série” para três séries, sabendo que
e que os raios de convergência das séries de potências valem
. Informações relevantes fornecidas:
- Há três séries (não foram incluídas no enunciado que você me enviou).
-
é um número real positivo ( ). - O raio de convergência de cada série é
.
Observação importante: não foi enviado o termo geral de nenhuma das séries. Sem saber os coeficientes (o
que aparece na série de potências) não é possível decidir, caso a caso, se as extremidades do intervalo de raio
pertencem ao conjunto de convergência. Por isso, não dá para dar a resposta exata para cada um dos três itens sem os enunciados das séries.
Passo 2
O que significa, na prática, "raio de convergência igual a
" e o que já sabemos automaticamente:
- Uma série de potências centrada em
com raio converge para todo com e diverge para todo com . - Portanto, sem testar nada mais, sabemos que o intervalo de convergência contém ao menos
.
Observação: se a série estiver centrada em um ponto, a ideia é idêntica trocando por ; aqui vou assumir centro porque isso é o caso mais comum.
Mas o que falta decidir são as extremidades
e
. Essas inclusões dependem dos coeficientes da série (dos
). Por isso a verificação de cada extremidade é obrigatória e feita caso a caso.
Passo 3
Como testar as extremidades
e
:
- Substituir
transforma a série de potências em . Para essa série de termos reais positivos ou não, aplicar os testes usuais de séries numéricas: comparação, integral, teste da raiz ou da razão (se aplicável), critério de Cauchy, teste da condensação de Cauchy (útil para termos do tipo ), etc. - Substituir
transforma a série em . Para essa série com sinais alternados, as principais ferramentas são: - Teste de Leibniz (teste da série alternada): se
é positivo, monótono decrescente e , então converge (pode ser condicional). - Testar convergência absoluta:
. Se converge então a série converge absolutamente; caso contrário pode convergir condicionalmente (ou divergir).
- Teste de Leibniz (teste da série alternada): se
- Em resumo: com raio
, intervalo padrão é ; para decidir inclusão de e substitui-se e aplica-se os testes numéricos adequados usando os coeficientes .
Passo 4
Vou ensinar, passo a passo, com um exemplo clássico que usa o parâmetro
e que aparece frequentemente em provas: a família
Este exemplo ilustra exatamente como o valor de
afeta os extremos quando o raio é
.
a) Mostrar que o raio é
.
- Tome
. Usando o teste da raiz (ou razão), calcula-se
Como
, obtemos
. Assim o raio de convergência é
. (Regra:
.)
b) Testar
: série torna-se a série p
- Pelo teste integral (ou pelo critério da série p), essa série converge se, e somente se,
. Se diverge. Explicando o teste integral rapidamente: comparar com , que é finita só quando .
c) Testar
: série torna-se
- Verificar as hipóteses do teste de Leibniz:
é positivo, monotonicamente decrescente (para e suficientemente grande) e . Logo, pelo teste de Leibniz, converge para todo . - Sobre convergência absoluta em
: isto equivale a , que converge apenas se . Portanto: - Se
: converge absolutamente em e em ; ambos os extremos entram no intervalo de convergência. - Se
: em a série diverge; em a série converge, mas apenas condicionalmente (não absolutamente).
- Se
d) Conclusão do exemplo
:
- Se
: intervalo de convergência é . - Se
: intervalo de convergência é (ou seja, incluído, excluído).
Este exemplo é muito didático porque combina o parâmetro
com o comportamento nas extremidades.
Passo 5
Outros exemplos de comportamento nas extremidades (para solidificar a intuição):
- Se os coeficientes decaem mais devagar, por exemplo
(não exatamente uma potência), então mesmo em pode divergir; é necessário verificar monotonia e limite de e usar comparação/condensação. - Se os coeficientes tiverem fator alternante já dentro (por exemplo
), a substituição em muda o padrão de sinais e é preciso reavaliar os testes citados. - Em algumas séries, ambos os extremos podem ser excluídos; em outras, ambos podem ser incluídos; e em muitas situações um extremo sim e o outro não — por isso o teste direto em cada extremo é obrigatório.
Passo 6
Resumo prático que você pode aplicar numa prova (checklist):
- Confirme o centro da série; supondo centro
, com raio já sabe que converge em todo . - Substitua
: a série vira . Use comparação, integral, p-série, raiz/razão para decidir converge/diverge. - Substitua
: a série vira . Primeiro tente o teste de Leibniz (se , decresce e tende a então converge). Depois verifique convergência absoluta testando . - Declare o intervalo final com a inclusão/exclusão adequada dos extremos.
Resposta
Não é possível determinar os intervalos de convergência dos três itens porque o enunciado recebido não contém os termos gerais das séries.
Regra geral: com raio (centro
) a série converge em
; a inclusão de
e
depende dos coeficientes
e deve ser verificada substituindo e aplicando testes numéricos.
Exemplo ilustrativo: para com
:
Regra geral: com raio
Exemplo ilustrativo: para
- Se
: intervalo de convergência é . - Se
: intervalo de convergência é .