Nas séries abaixo, b é um número real positivo. Sabe-se que os raios de convergência das séries de potências abaixo valem 1. Cada um dos três itens abaixo vale 0,5 ponto.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{b^{n} \ln (n)} x^{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{b^{n}\ln(n)}\,x^{n},
com b>0 e informa que o raio de convergência desta série vale 1. Vou determinar (1) o valor de b compatível com esse raio e (2) o comportamento nos pontos da fronteira do disco de convergência relevantes (isto é, em x=1 e x=-1). Não começo a resolver ainda; só enumerei o que foi dado e o que devo responder.

Passo 2

Primeiro vamos relacionar os coeficientes da série com o raio de convergência. Denotando o coeficiente por
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{b^{n}\ln(n)},
usa-se a fórmula do raio de convergência pela raiz (fórmula de Cauchy-Hadamard):
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}.
Aqui |a_{n}|=\dfrac{1}{b^{n}\ln(n)}, então
\sqrt[n]{|a_{n}|}=\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{(\ln n)^{1/n}}.
Sabemos que (\ln n)^{1/n}\to 1 quando n\to\infty. Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=\frac{1}{b},
e assim
R=b.

Passo 3

O enunciado informou que R=1. Igualando com o resultado do passo anterior obtemos
b=1.
Esse é o valor do parâmetro b compatível com o raio dado.

Passo 4

Com b=1 a série torna-se
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}\,x^{n}.
Uma propriedade geral de séries de potências: para um raio R fixo a série converge absolutamente para |x|<R e diverge para |x|>R. Como R=1, concluímos imediatamente:
  • para |x|<1 a série converge absolutamente;
  • para |x|>1 a série diverge.
Agora resta estudar os pontos da fronteira |x|=1, em particular x=1 e x=-1.

Passo 5

Análise em x=1. Substituindo x=1 obtemos a série numérica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}.
Aplicamos o teste de Leibniz (critérios de série alternada): se os termos positivos b_n=\dfrac{1}{\ln n} são monotonicamente decrescentes a partir de algum n e b_n\to 0, então a série alternada converge. Observações:
  • b_n=\dfrac{1}{\ln n} é decrescente para n\ge 3;
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0.
    Logo a série alternada converge. Agora verificamos a convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln n},
que é uma série de termos positivos que diverge. Uma maneira de ver isso é usar o teste de condensação de Cauchy: como b_n é decrescente para n grandes, a série \sum b_n converge se, e somente se, a série \sum 2^{k}b_{2^{k}} converge. Aqui
2^{k}b_{2^{k}}=\frac{2^{k}}{\ln(2^{k})}=\frac{2^{k}}{k\ln 2},
cujos termos não tendem a 0 (pelo contrário crescem), logo a série condensada diverge e, portanto, \sum 1/\ln n diverge. Conclusão: em x=1 a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.

Passo 6

Análise em x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\ln(n)}(-1)^{n}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)}.
Esta é exatamente a série dos valores absolutos do caso x=1, que acabamos de mostrar que diverge. Assim, em x=-1 a série diverge.

Passo 7

Resumo final do comportamento (já encontrado os três resultados pedidos): b=1; para |x|<1 converge absolutamente; para |x|>1 diverge; em x=1 converge condicionalmente; em x=-1 diverge.

Resposta

b=1
Em x=1: converge condicionalmente (não converge absolutamente)
Em x=-1: diverge

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