Nas séries abaixo,
é um número real positivo. Sabe-se que os raios de convergência das séries de potências abaixo valem 1. Cada um dos três itens abaixo vale 0,5 ponto.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
com
e informa que o raio de convergência desta série vale
. Vou determinar (1) o valor de
compatível com esse raio e (2) o comportamento nos pontos da fronteira do disco de convergência relevantes (isto é, em
e
). Não começo a resolver ainda; só enumerei o que foi dado e o que devo responder.
Passo 2
Primeiro vamos relacionar os coeficientes da série com o raio de convergência. Denotando o coeficiente por
usa-se a fórmula do raio de convergência pela raiz (fórmula de Cauchy-Hadamard):
Aqui
, então
Sabemos que
quando
. Portanto
e assim
Passo 3
O enunciado informou que
. Igualando com o resultado do passo anterior obtemos
Esse é o valor do parâmetro
compatível com o raio dado.
Passo 4
Com
a série torna-se
Uma propriedade geral de séries de potências: para um raio
fixo a série converge absolutamente para
e diverge para
. Como
, concluímos imediatamente:
- para
a série converge absolutamente; - para
a série diverge.
Agora resta estudar os pontos da fronteira
, em particular
e
.
Passo 5
Análise em
. Substituindo
obtemos a série numérica
Aplicamos o teste de Leibniz (critérios de série alternada): se os termos positivos
são monotonicamente decrescentes a partir de algum
e
, então a série alternada converge. Observações:
-
é decrescente para ; -
.
Logo a série alternada converge. Agora verificamos a convergência absoluta: a série dos valores absolutos é
que é uma série de termos positivos que diverge. Uma maneira de ver isso é usar o teste de condensação de Cauchy: como
é decrescente para
grandes, a série
converge se, e somente se, a série
converge. Aqui
cujos termos não tendem a
(pelo contrário crescem), logo a série condensada diverge e, portanto,
diverge. Conclusão: em
a série converge, mas não absolutamente — isto é, converge condicionalmente.
Passo 6
Análise em
. Substituindo
obtemos
Esta é exatamente a série dos valores absolutos do caso
, que acabamos de mostrar que diverge. Assim, em
a série diverge.
Passo 7
Resumo final do comportamento (já encontrado os três resultados pedidos):
; para
converge absolutamente; para
diverge; em
converge condicionalmente; em
diverge.
Resposta
Em
: converge condicionalmente (não converge absolutamente)
Em : diverge
Em