Sabe-se que o perfil de velocidade para um escoamento laminar no interior de uma tubulação de seção circular constante para um fluido incompressível, newtoniano em regime permanente, é dado pela seguinte equação:
v_{z}=v_{\max }\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^{2}\right]
Sendo r a distância em relação ao centro da tubulação, R o raio da tubulação e v_{\text {max }} a velocidade máxima do escoamento no centro da tubulação. Determine:
a) O gradiente de velocidade na parede da tubulação;
b) A tensão de cisalhamento na parede do tudo quando estiver escoando um fluido com \mu=8,0 \times 10^{-3} Pa.s; v_{\max }=0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, num tubo de 5,0 \mathrm{~mm} de diâmetro e
c) A velocidade média desse escoamento.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade para escoamento laminar em tubo circular
v_{z}(r)=v_{\max}\Bigl[1-\Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^{2}\Bigr]
e pede:
a) gradiente de velocidade na parede,
b) tensão de cisalhamento na parede (fluido newtoniano, viscosidade \mu),
c) velocidade média.
Vamos usar: derivada para obter o gradiente, relação de fluido newtoniano \tau=\mu\,\dot\gamma e definição de velocidade média v_{\rm m} = Q/(\pi R^{2}) com Q=\int v\,dA.

Passo 2

Calculamos o gradiente radial da velocidade:
\frac{dv_{z}}{dr} =\frac{d}{dr}\Bigl[v_{\max}\bigl(1-(r/R)^{2}\bigr)\Bigr] =-2\,v_{\max}\,\frac{r}{R^{2}}.

Passo 3

Avalia-mos esse gradiente na parede (\r=R):
\left.\frac{dv_{z}}{dr}\right|_{r=R} =-2\,\frac{v_{\max}}{R}.
Substituindo v_{\max}=0,2;m/s e R=D/2=5{,}0;mm / 2 =2{,}5\times10^{-3};m, vem
\left.\frac{dv_{z}}{dr}\right|_{r=R} =-2\,\frac{0,2}{2{,}5\times10^{-3}} =-160\;\mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Para fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento na parede é
\tau_{w} =\mu\;\biggl|\left.\frac{dv_{z}}{dr}\right|_{r=R}\biggr| =8{,}0\times10^{-3}\,\mathrm{Pa\cdot s}\times160\;\mathrm{s^{-1}} =1{,}28\;\mathrm{Pa}.

Passo 5

A velocidade média obtém-se de
Q=2\pi\int_{0}^{R}v_{z}(r)\,r\,dr =2\pi v_{\max}\int_{0}^{R}\Bigl(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\Bigr)r\,dr =2\pi v_{\max}\,\frac{R^{2}}{4} =\frac{\pi R^{2}v_{\max}}{2},
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v_{\rm m}=\frac{Q}{\pi R^{2}}=\frac{v_{\max}}{2}=0,1\;\mathrm{m/s}.

Resposta

a) \displaystyle \left.\frac{dv_{z}}{dr}\right|_{r=R}=-\;2\,\frac{v_{\max}}{R}=-160\;\mathrm{s^{-1}}.
b) \tau_{w}=\mu\,\bigl|\frac{dv_{z}}{dr}\bigr|_{r=R}=1{,}28\;\mathrm{Pa}.
c) v_{\rm m}=v_{\max}/2=0,1\;\mathrm{m/s}.

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