Um tanque cilíndrico de 3 ft de diâmetro está inicialmente cheio com água até uma altura de 4 ft . O tanque está aberto para a atmosfera. Na parte inferior do tanque existe um orifício que inicialmente está fechado. Após retirar a vedação do orifício, sai um jato d’água com velocidade média de
, sendo h a altura de água no tanque medida a partir do centro do orifício. Sabendo que o diâmetro do orifício é de 0,5 in, determine o tempo necessário para que o nível de água caia pela metade, e o tempo para o completo esvaziamento.
Passo 1
O enunciado trata do escoamento de um fluido em um tanque cilíndrico sob o efeito da gravidade, usando a lei de Torricelli, que diz que a velocidade de saída é
sendo
a altura da coluna de água acima do orifício. Vamos montar a equação diferencial para a variação de altura
e integrar para obter o tempo até metade do nível e até o esvaziamento completo.
Passo 2
Escrevendo o balanço de volume, temos
onde
é a área da seção transversal do tanque,
é a área do orifício,
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Separamos variáveis e integramos de
até
:
Como
, obtemos
Para o esvaziamento completo, basta tomar
, e para o nível pela metade
.
Passo 4
Calculamos os parâmetros numéricos:
O fator comum fica
- Para
ft e ft:
- Para esvaziar completamente (
):
Resposta
Tempo para cair pela metade: aproximadamente
s (12,7 min).
Tempo para esvaziamento completo: aproximadamente s (43,2 min).
Tempo para esvaziamento completo: aproximadamente