Um tanque cilíndrico de 3 ft de diâmetro está inicialmente cheio com água até uma altura de 4 ft . O tanque está aberto para a atmosfera. Na parte inferior do tanque existe um orifício que inicialmente está fechado. Após retirar a vedação do orifício, sai um jato d’água com velocidade média de v=\sqrt{2 g h}, sendo h a altura de água no tanque medida a partir do centro do orifício. Sabendo que o diâmetro do orifício é de 0,5 in, determine o tempo necessário para que o nível de água caia pela metade, e o tempo para o completo esvaziamento.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento de um fluido em um tanque cilíndrico sob o efeito da gravidade, usando a lei de Torricelli, que diz que a velocidade de saída é
v = \sqrt{2 g h},
sendo h a altura da coluna de água acima do orifício. Vamos montar a equação diferencial para a variação de altura h(t) e integrar para obter o tempo até metade do nível e até o esvaziamento completo.

Passo 2

Escrevendo o balanço de volume, temos
A_t\,\frac{dh}{dt} = -\,a\,v = -\,a\,\sqrt{2 g h},
onde
\displaystyle A_t é a área da seção transversal do tanque,
\displaystyle a é a área do orifício,
\displaystyle g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos de h=h_0 até h=h_f:
\int_{h_0}^{h_f} \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\,\frac{a\sqrt{2g}}{A_t}\int_{0}^{t} dt.
Como
\displaystyle \int \!h^{-1/2}dh = 2\sqrt{h}, obtemos
2\bigl(\sqrt{h_f}-\sqrt{h_0}\bigr) = -\,\frac{a\sqrt{2g}}{A_t}\,t \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2A_t}{a\sqrt{2g}}\bigl(\sqrt{h_0}-\sqrt{h_f}\bigr).
Para o esvaziamento completo, basta tomar h_f=0, e para o nível pela metade h_f=h_0/2.

Passo 4

Calculamos os parâmetros numéricos:
A_t = \pi\,(1{,}5)^2 = 2{,}25\pi\\ \text{ft}^2, \quad d_{\rm orifício} = 0{,}5\text{ in} = \tfrac{1}{24}\text{ ft}, \quad a = \pi\bigl(\tfrac{1}{48}\bigr)^2 = \tfrac{\pi}{2304}\\ \text{ft}^2,í
g = 32\\ \text{ft/s}^2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{2g} = \sqrt{64} = 8\\ \text{ft/s}.
O fator comum fica
\frac{2A_t}{a\sqrt{2g}} = \frac{2\cdot 2{,}25\pi}{(\pi/2304)\cdot 8} =1296\\ \text{s}.
  1. Para h_0=4 ft e h_f=2 ft:
t_{1/2} =1296\bigl(\sqrt{4}-\sqrt{2}\bigr) =1296\,(2-\sqrt{2}) \approx759{,}4\\ \text{s} \approx12{,}7\\ \text{min}.
  1. Para esvaziar completamente ( h_f=0):
t_{\rm vazio} =1296\bigl(\sqrt{4}-0\bigr) =1296\cdot2 =2592\\ \text{s} \approx43{,}2\\ \text{min}.

Resposta

Tempo para cair pela metade: aproximadamente 759{,}4 s (12,7 min).
Tempo para esvaziamento completo: aproximadamente 2592 s (43,2 min).

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