Esercicios: Resolver os PVIs:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0 \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
\begin{cases} y'' - 2y' + 2y = 0,\\\ y(0)=0,\\\ y'(0)=1. \end{cases}
Isso é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico trocando y por e^{rx} na equação homogênea:
r^2 - 2r + 2 = 0.
Calculando o discriminante,
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4,
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i.

Passo 3

Quando as raízes são r=1\pm i, a solução geral é
y(x) = e^{x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos y(0)=0:
y(0)=e^0\bigl(C_1\cos0 + C_2\sin0\bigr)=C_1=0.
Agora calculamos y'(x). Usando derivada do produto:
y'(x)=e^{x}(C_1\cos x + C_2\sin x) +e^{x}(-C_1\sin x + C_2\cos x) =e^{x}\bigl[(C_1+C_2)\cos x+(C_2-C_1)\sin x\bigr].
Em x=0 isso dá
y'(0)=(C_1+C_2)=1\quad\Longrightarrow\quad C_2=1
porque C_1=0.

Resposta

y(x) = e^{x}\sin x.

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