Sabe-se que uma pessoa tem a receber os seguintes pagamentos:
a) 10 prestações mensais de
700,00$ cada, vencendo a primeira de hoje a um mês;
b) 06 prestações trimestrais de
2.800,00$ cada, vencendo a primeira 3 meses após o término da sequência de pagamentos acima.
Para uma taxa de juros de 4,1% a.m., determinar o valor presente (na data zero) e o valor futuro (ao final do
mês) deste fluxo de pagamentos.
a) 10 prestações mensais de
b) 06 prestações trimestrais de
Passo 1
O enunciado dá duas sequências de pagamentos e pede o valor presente na data zero e o valor futuro ao final do
mês. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Pagamentos da sequência (a):
prestações mensais de cada, vencendo a primeira em mês. Ou seja, pagamentos em . - Pagamentos da sequência (b):
prestações trimestrais de cada, vencendo a primeira meses após o término da sequência (a). A sequência (a) termina no mês , então a primeira parcela da (b) vence no mês . Assim, os vencimentos da (b) são nos meses . - Taxa de juros nominal dada é
ao mês, i.e., taxa mensal . - Pedidos:
- Valor presente (na data
) do fluxo total. - Valor futuro ao final do
mês (i.e., acumular todos os pagamentos que ocorreram até o mês 19, inclusive o pagamento que ocorre no mês 19).
- Valor presente (na data
Não há figuras nem dados em falta. A resolução começará a seguir.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
- Juros compostos mensal: aplicar a taxa mensal
. Para acumular um pagamento feito no mês até um mês usamos o fator . Para descontar (trazer ao presente) usamos . - Valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos mensais
em ):
Aqui
é o valor na data zero,
é o valor da prestação,
a taxa por período (mensal) e
o número de prestações.
- Valor futuro no fim do último período (ou em qualquer outro mês) de uma anuidade: acumula-se cada pagamento até a data pedida com
e soma-se. Para uma anuidade mensal de pagamentos, o valor futuro no tempo é
- Para pagamentos trimestrais, trabalhando em base mensal, é conveniente reconhecer que a cada
meses o fator acumulado é . Chamamos a taxa efetiva por trimestre (usada só para facilitar somas de pagamentos a cada 3 meses).
Vou aplicar essas fórmulas às duas sequências e somar os resultados.
Passo 3
Cálculo do valor presente da sequência (a) (10 prestações mensais de
):
- Usamos a fórmula da anuidade ordinária com
, , :
Agora calculamos numericamente os fatores necessários:
portanto
Substituindo,
Logo
Passo 4
Cálculo do valor presente da sequência (b) (6 prestações trimestrais de
, vencendo em
):
- Primeiro obtenho a taxa efetiva por trimestre:
Calculando,
- A sequência (b) começa no mês
, ou seja 3 meses após o mês 10. É conveniente avaliar o valor presente desta anuidade na data do mês (um ponto imediatamente antes do primeiro pagamento trimestral contado em períodos trimestrais). Em termos de períodos trimestrais, é uma anuidade ordinária com pagamentos e taxa . O valor dessa anuidade imediatamente antes da primeira parcela (i.e., no mês 10) é:
- Calculo de
. Observação útil:
Já tínhamos
, logo
Substituindo,
- Esse é o valor no mês
. Para trazer ao presente (mês ) desconto por meses à taxa mensal :
Logo
Passo 5
Somando as duas partes para obter o valor presente total na data zero:
Portanto o valor presente (na data zero) do fluxo é aproximadamente
.
Passo 6
Agora calculamos o valor futuro ao final do
mês. Interpretação: acumulamos todos os pagamentos que ocorreram até o mês
(incluindo o pagamento do mês 19) até essa data.
Lista dos pagamentos que ocorreram até o mês 19:
- Da sequência (a): pagamentos em
(todos acumulam até o mês 19). - Da sequência (b): pagamentos em
(os demais em 22,25,28 ocorrem depois do mês 19 e, portanto, não entram no FV no mês 19).
Estratégia: acumular cada bloco separadamente até o mês 19.
Passo 7
Acumulação da sequência (a) até o mês 19:
- O valor futuro (no mês 19) dos
pagamentos mensais é
Usando soma geométrica, isso dá (fórmula fechada)
Já calculamos potências necessárias:
Substituindo:
Logo
(Verificação alternativa rápida: acumular o FV da anuidade até o mês 10 e depois multiplicar por
dá o mesmo resultado.)
Passo 8
Acumulação da sequência (b) até o mês 19 (apenas os pagamentos de
):
- Cada parcela se acumula de sua data até o mês 19:
- parcela de mês 13 acumula
meses: fator ; - parcela de mês 16 acumula
meses: fator ; - parcela de mês 19 acumula
meses: fator .
- parcela de mês 13 acumula
- Então
Já tínhamos:
Somando:
Multiplicando por
:
Logo
Passo 9
Valor futuro total no mês
: somo as duas acumulações:
Portanto o valor futuro (ao final do
mês) do fluxo de pagamentos é aproximadamente
.