Sabe-se que uma pessoa tem a receber os seguintes pagamentos:
a) 10 prestações mensais de \ 700,00$ cada, vencendo a primeira de hoje a um mês;
b) 06 prestações trimestrais de \ 2.800,00$ cada, vencendo a primeira 3 meses após o término da sequência de pagamentos acima.
Para uma taxa de juros de 4,1% a.m., determinar o valor presente (na data zero) e o valor futuro (ao final do 19^{2} mês) deste fluxo de pagamentos.

Passo 1

O enunciado dá duas sequências de pagamentos e pede o valor presente na data zero e o valor futuro ao final do 19^{\circ} mês. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Pagamentos da sequência (a): 10 prestações mensais de \$\,700,00 cada, vencendo a primeira em 1 mês. Ou seja, pagamentos em m=1,2,\dots,10.
  • Pagamentos da sequência (b): 6 prestações trimestrais de \$\,2.800,00 cada, vencendo a primeira 3 meses após o término da sequência (a). A sequência (a) termina no mês 10, então a primeira parcela da (b) vence no mês 13. Assim, os vencimentos da (b) são nos meses 13,16,19,22,25,28.
  • Taxa de juros nominal dada é 4{,}1\% ao mês, i.e., taxa mensal i=0{,}041.
  • Pedidos:
    1. Valor presente (na data 0) do fluxo total.
    2. Valor futuro ao final do 19^{\circ} mês (i.e., acumular todos os pagamentos que ocorreram até o mês 19, inclusive o pagamento que ocorre no mês 19).
Não há figuras nem dados em falta. A resolução começará a seguir.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
  • Juros compostos mensal: aplicar a taxa mensal i=0{,}041. Para acumular um pagamento feito no mês m até um mês t\ge m usamos o fator (1+i)^{t-m}. Para descontar (trazer ao presente) usamos (1+i)^{-m}.
  • Valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos mensais A em m=1,\dots,n):
PV = A\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui PV é o valor na data zero, A é o valor da prestação, i a taxa por período (mensal) e n o número de prestações.
  • Valor futuro no fim do último período (ou em qualquer outro mês) de uma anuidade: acumula-se cada pagamento até a data pedida com (1+i)^{t-m} e soma-se. Para uma anuidade mensal de n pagamentos, o valor futuro no tempo n é
FV_n = A\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
  • Para pagamentos trimestrais, trabalhando em base mensal, é conveniente reconhecer que a cada 3 meses o fator acumulado é (1+i)^3. Chamamos j=(1+i)^3-1 a taxa efetiva por trimestre (usada só para facilitar somas de pagamentos a cada 3 meses).
Vou aplicar essas fórmulas às duas sequências e somar os resultados.

Passo 3

Cálculo do valor presente da sequência (a) (10 prestações mensais de \$\,700):
  • Usamos a fórmula da anuidade ordinária com A=700, n=10, i=0{,}041:
PV_{a} = 700\cdot\frac{1-(1+0{,}041)^{-10}}{0{,}041}.
Agora calculamos numericamente os fatores necessários:
(1+0{,}041)^{10} \approx 1{,}4945391468276646,
portanto
(1+0{,}041)^{-10} \approx \frac{1}{1{,}4945391468276646}\approx 0{,}669313903.
Substituindo,
PV_{a}=700\cdot\frac{1-0{,}669313903}{0{,}041} =700\cdot\frac{0{,}330686097}{0{,}041} \approx 700\cdot 8{,}072341390 \approx 5.650{,}64.
Logo
PV_{a}\approx \$\,5.650{,}64.

Passo 4

Cálculo do valor presente da sequência (b) (6 prestações trimestrais de \$\,2.800, vencendo em 13,16,19,22,25,28):
  • Primeiro obtenho a taxa efetiva por trimestre:
j = (1+0{,}041)^3 - 1.
Calculando,
(1+0{,}041)^3 \approx 1{,}128111921 \quad\Rightarrow\quad j \approx 0{,}128111921.
  • A sequência (b) começa no mês 13, ou seja 3 meses após o mês 10. É conveniente avaliar o valor presente desta anuidade na data do mês 10 (um ponto imediatamente antes do primeiro pagamento trimestral contado em períodos trimestrais). Em termos de períodos trimestrais, é uma anuidade ordinária com 6 pagamentos e taxa j. O valor dessa anuidade imediatamente antes da primeira parcela (i.e., no mês 10) é:
PV_{b\;(\text{em mês }10)} = 2800\cdot\frac{1-(1+j)^{-6}}{j}.ê
  • Calculo de (1+j)^{-6}. Observação útil:
1+j=(1+0{,}041)^3 \Rightarrow (1+j)^{-6}=(1+0{,}041)^{-18}.
Já tínhamos (1+0{,}041)^{18}\approx 2{,}0611670466, logo
(1+j)^{-6}\approx\frac{1}{2{,}0611670466}\approx 0{,}4851608.
Substituindo,
PV_{b\;(\text{mês }10)}=2800\cdot\frac{1-0{,}4851608}{0{,}128111921} =2800\cdot\frac{0{,}5148392}{0{,}128111921} \approx 2800\cdot 4{,}0186748 \approx 11.252{,}29.ê
  • Esse é o valor no mês 10. Para trazer ao presente (mês 0) desconto por 10 meses à taxa mensal i:
PV_{b} = \frac{PV_{b\;(\text{mês }10)}}{(1+0{,}041)^{10}} = \frac{11.252{,}2894}{1{,}4945391468} \approx 7.529{,}10.ê
Logo
PV_{b}\approx \$\,7.529{,}10.

Passo 5

Somando as duas partes para obter o valor presente total na data zero:
PV = PV_{a} + PV_{b} \approx 5.650{,}64 + 7.529{,}10 = 13.179{,}74.
Portanto o valor presente (na data zero) do fluxo é aproximadamente \$\,13.179{,}74.

Passo 6

Agora calculamos o valor futuro ao final do 19^{\circ} mês. Interpretação: acumulamos todos os pagamentos que ocorreram até o mês 19 (incluindo o pagamento do mês 19) até essa data.
Lista dos pagamentos que ocorreram até o mês 19:
  • Da sequência (a): pagamentos em 1,2,\dots,10 (todos acumulam até o mês 19).
  • Da sequência (b): pagamentos em 13,16,19 (os demais em 22,25,28 ocorrem depois do mês 19 e, portanto, não entram no FV no mês 19).
Estratégia: acumular cada bloco separadamente até o mês 19.

Passo 7

Acumulação da sequência (a) até o mês 19:
  • O valor futuro (no mês 19) dos 10 pagamentos mensais 700 é
FV_{a\;(\text{mês }19)}=\sum_{m=1}^{10}700\,(1+0{,}041)^{19-m}.ê
Usando soma geométrica, isso dá (fórmula fechada)
FV_{a\;(\text{mês }19)}=700\cdot\frac{(1+0{,}041)^{19}-(1+0{,}041)^{9}}{0{,}041}.ê
Já calculamos potências necessárias:
(1+0{,}041)^{9}\approx 1{,}435676413859428,\qquad (1+0{,}041)^{19}\approx 2{,}1456748955.
Substituindo:
FV_{a\;(\text{mês }19)}=700\cdot\frac{2{,}1456748955-1{,}4356764139}{0{,}041} =700\cdot\frac{0{,}7099984816}{0{,}041} \approx 700\cdot 17{,}317014695 \approx 12.121{,}91.ê
Logo
FV_{a\;(\text{mês }19)}\approx \$\,12.121{,}91.ê
(Verificação alternativa rápida: acumular o FV da anuidade até o mês 10 e depois multiplicar por (1+0{,}041)^9 dá o mesmo resultado.)

Passo 8

Acumulação da sequência (b) até o mês 19 (apenas os pagamentos de 13,16,19):
  • Cada parcela se acumula de sua data até o mês 19:
    • parcela de mês 13 acumula 6 meses: fator (1+0{,}041)^6;
    • parcela de mês 16 acumula 3 meses: fator (1+0{,}041)^3;
    • parcela de mês 19 acumula 0 meses: fator 1.
  • Então
FV_{b\;(\text{mês }19)} = 2800\big[(1+0{,}041)^{6}+(1+0{,}041)^{3}+1\big].ê
Já tínhamos:
(1+0{,}041)^{3}\approx 1{,}128111921,\qquad (1+0{,}041)^{6}\approx 1{,}2726365063.
Somando:
1{,}2726365063+1{,}128111921+1 \approx 3{,}4007484273.
Multiplicando por 2800:
FV_{b\;(\text{mês }19)} \approx 2800\cdot 3{,}4007484273 \approx 9.522{,}10.ê
Logo
FV_{b\;(\text{mês }19)}\approx \$\,9.522{,}10.ê

Passo 9

Valor futuro total no mês 19: somo as duas acumulações:
FV_{19} = FV_{a\;(\text{mês }19)} + FV_{b\;(\text{mês }19)} \approx 12.121{,}91 + 9.522{,}10 = 21.644{,}01.êê
Portanto o valor futuro (ao final do 19^{\circ} mês) do fluxo de pagamentos é aproximadamente \$\,21.644{,}01.

Resposta

\$\,13.179{,}74
\$\,21.644{,}01

Exercícios relacionados