(UF-MS) Sabe-se que o polinômio
, definido a seguir, tem duas raízes reais opostas coeficientes reais e que
.
Entäo, qual é o valor da soma
?
Passo 1
Temos o polinômio de grau 4
que tem coeficientes reais, uma raiz complexa
(logo também
por conjunção) e duas raízes reais opostas. Queremos encontrar o valor de
usando as relações de Viète.
Passo 2
Sejam as raízes reais opostas
e
. Então as quatro raízes são
Pela relação de Viète, o produto das raízes de um polinômio
é
Aplicando aqui:
Como
, isso dá
Passo 3
A soma das raízes é dada por
e pela relação de Viète isso vale
Logo
.
Passo 4
A soma dos produtos dois a dois das raízes é
Como os termos mistos com
e
se cancelam, resta
Pela Viète,
Logo
.
Passo 5
A soma dos produtos três a três é
Os dois primeiros se somam a zero e os dois últimos dão
Pela Viète,
Logo
Resposta
45