(UF-MS) Sabe-se que o polinômio P(x), definido a seguir, tem duas raízes reais opostas coeficientes reais e que P(1-i)=0.
P(x)=9 x^4+a x^3+b x^2+c x-90
Entäo, qual é o valor da soma (a+b+c) ?

Passo 1

Temos o polinômio de grau 4
P(x)=9x^4+ax^3+bx^2+cx-90
que tem coeficientes reais, uma raiz complexa 1 - i (logo também 1 + i por conjunção) e duas raízes reais opostas. Queremos encontrar o valor de a+b+c usando as relações de Viète.

Passo 2

Sejam as raízes reais opostas r e -r. Então as quatro raízes são
1 - i, 1 + i, r, - r
Pela relação de Viète, o produto das raízes de um polinômio Ax^4 + dots + E é
alpha1alpha2alpha3alpha4 = (-1)^4 EA = -909 = -10
Aplicando aqui:
(1 - i)(1 + i) cdot r cdot (-r) = -10
Como (1 - i)(1 + i)=2, isso dá
2 cdot (-r^2) = -10 Longrightarrow r^2=5

Passo 3

A soma das raízes é dada por
(1 - i)+(1 + i)+r+(-r)=2
e pela relação de Viète isso vale
-a9=2
Logo a=-18.

Passo 4

A soma dos produtos dois a dois das raízes é
S2 = (1 - i)(1 + i) + (1 - i)(r) + (1 - i)(-r) + (1 + i)(r) + (1 + i)(-r) + r(-r)
Como os termos mistos com r e -r se cancelam, resta
S2 = 2 + (-r^2) = 2 - 5 = -3
Pela Viète,
S2 = b9
Logo b=9cdot(-3)=-27.

Passo 5

A soma dos produtos três a três é
S3 = (1 - i)(1 + i),r + (1 - i)(1 + i)(-r) + (1 - i)r(-r) + (1 + i)r(-r)
Os dois primeiros se somam a zero e os dois últimos dão
2cdot(-r^2) = -10
Pela Viète,
S3 = -c9
Logo
-c9 = -10 Longrightarrow c = 90

Resposta

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