Em cada um dos Problemas de 1 a 12, encontre a soluçâo geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é módulos de equação linear não homogênea: primeiro a gente resolve a homogênea, depois busca uma solução particular por coeficientes indeterminados e, por fim, junta tudo.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
, cujas raízes são
. Então a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para a parte não homogênea usamos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é soma de um polinômio vezes constante
e de uma constante, vamos achar duas soluções particulares e somar:
- Para
, suponha
Calcule as derivadas:
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
, ou seja, aos coeficientes:
9A = 1, 9B = 0, 2A + 9C = 0.
9A = 1, 9B = 0, 2A + 9C = 0.
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Logo,
Passo 5
- Para a parte constante
, suponha
logo
e
Então
Passo 6
A solução particular total é
Reunindo com a homogênea, a solução geral é a soma de
e
.