Em cada um dos Problemas de 1 a 12, encontre a soluçâo geral da equação diferencial dada.
y^prime prime+9 y=t^2 e^3+6

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 9y = t^2 e^3 + 6
O conteúdo aqui é módulos de equação linear não homogênea: primeiro a gente resolve a homogênea, depois busca uma solução particular por coeficientes indeterminados e, por fim, junta tudo.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 9y = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, cujas raízes são r = ,pm 3i. Então a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

Para a parte não homogênea usamos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é soma de um polinômio vezes constante e^3 e de uma constante, vamos achar duas soluções particulares e somar:
  1. Para t^2 e^3, suponha
yp1(t) = e^3l(A t^2 + B t + Cr)
Calcule as derivadas:
yp1''(t) = e^3cdot 2A
Substituindo em y''+9y:
2A e^3 + 9e^3l(A t^2 + B t + Cr) = e^3l(9A t^2 + 9B t + (2A + 9C)r)
Isso deve ser igual a e^3 t^2, ou seja, aos coeficientes:
9A = 1, 9B = 0, 2A + 9C = 0.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
9A = 1 implies A = 19,
9B = 0 implies B = 0,
2cdot19 + 9C = 0 implies C = -281
Logo,
yp1(t) = e^3l(19t^2 - 281r)

Passo 5

  1. Para a parte constante 6, suponha
yp2(t) = D,
logo yp2'' = 0 e
0 + 9D = 6 implies D = 69 = 23
Então
yp2(t) = 23

Passo 6

A solução particular total é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = e^3l(19t^2 - 281r) + 23
Reunindo com a homogênea, a solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t) + e^3l(tfrac19t^2 - tfrac281r) + tfrac23

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