(PUC-RJ) O polinômio p(x)=x^3-2 x^2-5 x+d é divisível por ( x-2 ).
a) Determine d.
b) Calcule as raízes de p(x)=10.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um polinômio $ p(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + d $ que é divisível por $ x - 2 $. A matéria envolvida aqui é a Divisibilidade de Polinômios e Raízes de Equações Polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar o Teorema do Resto, que nos ajuda a encontrar o valor de $ d $, e depois usar métodos para encontrar as raízes da equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): determinar o valor de $ d $. Como o polinômio $ p(x) $ é divisível por $ x - 2 $, isso significa que quando substituirmos $ x = 2 $ no polinômio, o resultado será zero. Isso vem do Teorema do Resto, que diz basicamente que se um polinômio $ p(x) $ é dividido por $ x - a $, então $ p(a) $ é o resto dessa divisão.

Passo 3

Vamos aplicar isso na prática. Substituímos $ x = 2 $ no polinômio:
x = 2

Passo 4

Calculando os valores:
2^3 = 8
2(2)^2 = 2 times 4 = 8
5(2) = 10
Então:
p(2) = 8 - 8 - 10 + d = -10 + d

Passo 5

Como $ p(2) = 0 $ (porque é divisível por $ x - 2 $):
p(2) = 0
Resolvendo para $ d $:
x - 2

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): calcular as raízes de $ p(x) = 10 $. Sabemos que $ d = 10 $, então o polinômio fica:
p(x) = 10

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
x^3 - 2x^2 - 5x + 10 - 10 = 0
x^3 - 2x^2 - 5x = 0

Passo 8

Podemos fatorar $ x $ da equação:
x
Isso nos dá uma raiz imediata: $ x = 0 $.

Passo 9

Agora, precisamos resolver a equação quadrática dentro do parêntese:
x^2 - 2x - 5 = 0
Vamos usar a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação. A fórmula é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 1 $, $ b = -2 $, e $ c = -5 $.

Passo 10

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De

Passo 11

Aplicando na Fórmula de Bhaskara:
x = -(-2) pm raiz242(1) = 2 pm 2raiz62 = 1 pm raiz6

Resposta

a) O valor de $ d $ é 10.
b) As raízes de $ p(x) = 10 $ são $ x = 0 $, $ x = 1 + \sqrt{6} $ e $ x = 1 - \sqrt{6} $.

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