(PUC-RJ) O polinômio
é divisível por (
).
a) Determine
.
b) Calcule as raízes de
.
a) Determine
b) Calcule as raízes de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um polinômio $ p(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + d $ que é divisível por $ x - 2 $. A matéria envolvida aqui é a Divisibilidade de Polinômios e Raízes de Equações Polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar o Teorema do Resto, que nos ajuda a encontrar o valor de $ d $, e depois usar métodos para encontrar as raízes da equação resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a): determinar o valor de $ d $. Como o polinômio $ p(x) $ é divisível por $ x - 2 $, isso significa que quando substituirmos $ x = 2 $ no polinômio, o resultado será zero. Isso vem do Teorema do Resto, que diz basicamente que se um polinômio $ p(x) $ é dividido por $ x - a $, então $ p(a) $ é o resto dessa divisão.
Passo 3
Vamos aplicar isso na prática. Substituímos $ x = 2 $ no polinômio:
Passo 4
Calculando os valores:
Então:
Passo 5
Como $ p(2) = 0 $ (porque é divisível por $ x - 2 $):
Resolvendo para $ d $:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): calcular as raízes de $ p(x) = 10 $. Sabemos que $ d = 10 $, então o polinômio fica:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Passo 8
Podemos fatorar $ x $ da equação:
Isso nos dá uma raiz imediata: $ x = 0 $.
Passo 9
Agora, precisamos resolver a equação quadrática dentro do parêntese:
Vamos usar a Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes dessa equação. A fórmula é:
Onde $ a = 1 $, $ b = -2 $, e $ c = -5 $.
Passo 10
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 11
Aplicando na Fórmula de Bhaskara:
Resposta
a) O valor de $ d $ é 10.
b) As raízes de $ p(x) = 10 $ são $ x = 0 $, $ x = 1 + \sqrt{6} $ e $ x = 1 - \sqrt{6} $.