Sabe-se que a população da comunidade no Problema 1 é de 10 mil após três anos. Qual era a população inicial P_{0} ? Qual será a população em 10 anos? Qual é o crescimento populacional em t=10 ?

Passo 1

O enunciado (isoladamente) dá e pede o seguinte:
  • Dado: a população no instante t=3 anos é 10\\\ 000. Ou seja, P(3)=10\\\ 000.
  • Pedidos:
    1. Qual era a população inicial P_{0} (isto é, P(0))?
    2. Qual será a população em t=10 anos (isto é, P(10))?
    3. Qual é o crescimento populacional em t=10 (isto é, P'(10))?
Informação que falta (importante): o enunciado não diz qual é a lei de crescimento populacional (por exemplo, se a população segue um modelo exponencial, logístico, ou outra fórmula) nem fornece a taxa de crescimento numérica. Sem essa lei ou sem a taxa, não é possível obter valores numéricos únicos para P_{0}, P(10) e P'(10). Provavelmente essa informação estava no “Problema 1” referido, que não foi enviado aqui.

Passo 2

Escolha de método (assunção razoável e por que): como não há a lei explícita, vou assumir o modelo mais simples e habitual para exercícios deste tipo — crescimento exponencial com taxa constante. Essa é a hipótese básica que aparece com frequência em provas e é a forma mais direta de progredir sem mais dados. Se o problema original usa outra lei, substitua abaixo pela lei correta.
No modelo exponencial assume-se que a taxa instantânea de crescimento é proporcional à população, isto é, que existe uma constante k (taxa relativa de crescimento por ano) tal que
\frac{dP}{dt}=k\,P(t).
Aqui k tem unidade “por ano” (por exemplo, k=0,1 significa crescimento de 10\% ao ano).

Passo 3

Resolver a equação diferencial (passo a passo e interpretação): começando de
\frac{dP}{dt}=kP,
fazemos separação de variáveis:
\frac{dP}{P}=k\,dt.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{dP}{P}=\int k\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln P = k t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
P(t)=e^{C} e^{k t}.
Definindo P_{0}=P(0)=e^{C}, obtemos a forma usual
P(t)=P_{0} e^{k t}.
Aqui P_{0} é a população inicial (em t=0) e k é a taxa relativa de crescimento.

Passo 4

Usar a condição P(3)=10\\\ 000 para relacionar P_{0} e k: substituindo t=3,
P(3)=P_{0} e^{3k}=10\\\ 000.
Isolando P_{0} obtemos a expressão em função de k:
P_{0}=10\\\ 000\,e^{-3k}.
Observação: sem conhecer k não se pode dar um valor numérico para P_{0}; esta fórmula já permite calcular P_{0} assim que k for conhecido.

Passo 5

Calcular P(10) em função de k: usando P(t)=P_{0} e^{k t} e substituindo a expressão de P_{0} do passo anterior,
P(10)=P_{0} e^{10k} = \bigl(10\\\ 000\,e^{-3k}\bigr) e^{10k} = 10\\\ 000\,e^{7k}.
Portanto a população em t=10 é 10\\\ 000\,e^{7k}.

Passo 6

Calcular o crescimento populacional instantâneo em t=10, isto é P'(10): no modelo exponencial tem-se
P'(t)=k\,P(t).
Assim,
P'(10)=k\,P(10)=k\cdot\bigl(10\\\ 000\,e^{7k}\bigr)=10\\\ 000\,k\,e^{7k}.
Unidade: pessoas por ano.

Passo 7

Ilustração numérica (para entender como usar as fórmulas): se a taxa fosse, por exemplo, k=0,1 (ou seja, 10\% ao ano), então
P_{0}=10\\\ 000\,e^{-0{,}3}\approx 10\\\ 000\cdot0{,}740818\approx 7\\\ 408,
P(10)=10\\\ 000\,e^{0{,}7}\approx 10\\\ 000\cdot2{,}01375\approx 20\\\ 138,
P'(10)=0{,}1\cdot20\\\ 138\approx 2\\\ 014\\ \text{pessoas/ano}.
Se k fosse outro valor (por exemplo k=0{,}05), basta substituir nas fórmulas do Passo 4–6.

Resposta

P_{0}=10\\\ 000\,e^{-3k}
P(10)=10\\\ 000\,e^{7k}
P'(10)=10\\\ 000\,k\,e^{7k}

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