Sabe-se que a população da comunidade no Problema 1 é de 10 mil após três anos. Qual era a população inicial
? Qual será a população em 10 anos? Qual é o crescimento populacional em
?
Passo 1
O enunciado (isoladamente) dá e pede o seguinte:
- Dado: a população no instante
anos é . Ou seja, . - Pedidos:
- Qual era a população inicial
(isto é, )? - Qual será a população em
anos (isto é, )? - Qual é o crescimento populacional em
(isto é, )?
- Qual era a população inicial
Informação que falta (importante): o enunciado não diz qual é a lei de crescimento populacional (por exemplo, se a população segue um modelo exponencial, logístico, ou outra fórmula) nem fornece a taxa de crescimento numérica. Sem essa lei ou sem a taxa, não é possível obter valores numéricos únicos para
,
e
. Provavelmente essa informação estava no “Problema 1” referido, que não foi enviado aqui.
Passo 2
Escolha de método (assunção razoável e por que): como não há a lei explícita, vou assumir o modelo mais simples e habitual para exercícios deste tipo — crescimento exponencial com taxa constante. Essa é a hipótese básica que aparece com frequência em provas e é a forma mais direta de progredir sem mais dados. Se o problema original usa outra lei, substitua abaixo pela lei correta.
No modelo exponencial assume-se que a taxa instantânea de crescimento é proporcional à população, isto é, que existe uma constante
(taxa relativa de crescimento por ano) tal que
Aqui
tem unidade “por ano” (por exemplo,
significa crescimento de
ao ano).
Passo 3
Resolver a equação diferencial (passo a passo e interpretação): começando de
fazemos separação de variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Definindo
, obtemos a forma usual
Aqui
é a população inicial (em
) e
é a taxa relativa de crescimento.
Passo 4
Usar a condição
para relacionar
e
: substituindo
,
Isolando
obtemos a expressão em função de
:
Observação: sem conhecer
não se pode dar um valor numérico para
; esta fórmula já permite calcular
assim que
for conhecido.
Passo 5
Calcular
em função de
: usando
e substituindo a expressão de
do passo anterior,
Portanto a população em
é
.
Passo 6
Calcular o crescimento populacional instantâneo em
, isto é
: no modelo exponencial tem-se
Assim,
Unidade: pessoas por ano.
Passo 7
Ilustração numérica (para entender como usar as fórmulas): se a taxa fosse, por exemplo,
(ou seja,
ao ano), então
Se
fosse outro valor (por exemplo
), basta substituir nas fórmulas do Passo 4–6.