y=\frac{1}{x^{2}+c} é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}=0. Encontre a solução de primeira ordem PVI consistindo nessa equação diferencial e na condição inicial y(-2)=\frac{1}{2}.
Escolha uma opção:
◯ a. y=\frac{1}{x^{2}+12}.
◯ b. y=\frac{1}{x^{2}+2}.
◯ c. y=\frac{1}{x^{2}-2}.
◯ d. y=\frac{1}{x^{2}}.
◯ e. y=\frac{1}{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'+2x y^{2}=0
e diz que a família de soluções é dada por
y=\frac{1}{x^{2}+c},
onde c é constante. A condição inicial (PVI) é
y(-2)=\frac{1}{2}.
A pergunta é: qual é a solução da PVI (isto é, qual membro da família corresponde à condição inicial)? As opções são as alternativas (a)–(e).

Passo 2

Vou resolver a EDO por separação de variáveis (método direto e que gera a família indicada). Começo escrevendo a derivada como razão:
\frac{dy}{dx}=-2x y^{2}.
Agora separo y e x de lados opostos: coloco os termos com y no lado esquerdo e os com x no direito:
\frac{dy}{y^{2}}=-2x\,dx.
Isso é legal porque estou assumindo y\neq0 — e a família dada tem y=\dfrac{1}{x^{2}+c}, que só é zero se o denominador fosse infinito, o que não ocorre aqui.

Passo 3

Integro ambos os lados. Explico a integral usada:
  • \int y^{-2}\,dy é uma integral básica: para n\neq -1, \int y^{n}dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-2, então
\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.
  • \int -2x\,dx é simples: \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}, então
\int -2x\,dx=-2\cdot\frac{x^{2}}{2}=-x^{2}.
Somando uma constante de integração C, obtemos
-\frac{1}{y}=-x^{2}+C.
Multiplico por -1 e escrevo a constante de forma conveniente ( C'=-C):
\frac{1}{y}=x^{2}+C'.
Inverto para achar y:
y=\frac{1}{x^{2}+C'}.
Isso coincide com a família fornecida, mostrando que o procedimento está correto.

Passo 4

Agora aplico a condição inicial y(-2)=\tfrac{1}{2}. Para x=-2 a fórmula dá
\frac{1}{(-2)^{2}+C'}=\frac{1}{2}.
Calculo passo a passo:
\frac{1}{4+C'}=\frac{1}{2}.
Multiplico em cruz (ou observe que numeradores iguais 1 obrigam denominadores iguais):
4+C'=2.
Logo
C'=-2.

Passo 5

Substituo C'=-2 na solução geral. Assim a solução da PVI é
y=\frac{1}{x^{2}-2}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para prova): calcule y' para confirmar que a EDO é satisfeita. Com y=\dfrac{1}{x^{2}-2},
y'=-\frac{2x}{(x^{2}-2)^{2}}.
E
2x y^{2}=2x\left(\frac{1}{x^{2}-2}\right)^{2}=\frac{2x}{(x^{2}-2)^{2}}.
Somando,
y'+2x y^{2}= -\frac{2x}{(x^{2}-2)^{2}}+\frac{2x}{(x^{2}-2)^{2}}=0,
portanto a solução confere com a EDO. Também a condição y(-2)=1/2 é satisfeita porque 1/((-2)^{2}-2)=1/2.

Resposta

c. y=\frac{1}{x^{2}-2}

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