é uma família a um parâmetro de soluções da ED de primeira ordem
. Encontre a solução de primeira ordem PVI consistindo nessa equação diferencial e na condição inicial
.
Escolha uma opção:
◯ a.
.
◯ b.
.
◯ c.
.
◯ d.
.
◯ e.
.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e diz que a família de soluções é dada por
onde
é constante. A condição inicial (PVI) é
A pergunta é: qual é a solução da PVI (isto é, qual membro da família corresponde à condição inicial)? As opções são as alternativas (a)–(e).
Passo 2
Vou resolver a EDO por separação de variáveis (método direto e que gera a família indicada). Começo escrevendo a derivada como razão:
Agora separo
e
de lados opostos: coloco os termos com
no lado esquerdo e os com
no direito:
Isso é legal porque estou assumindo
— e a família dada tem
, que só é zero se o denominador fosse infinito, o que não ocorre aqui.
Passo 3
Integro ambos os lados. Explico a integral usada:
-
é uma integral básica: para , . Aqui , então
-
é simples: , então
Somando uma constante de integração
, obtemos
Multiplico por
e escrevo a constante de forma conveniente (
):
Inverto para achar
:
Isso coincide com a família fornecida, mostrando que o procedimento está correto.
Passo 4
Agora aplico a condição inicial
. Para
a fórmula dá
Calculo passo a passo:
Multiplico em cruz (ou observe que numeradores iguais
obrigam denominadores iguais):
Logo
Passo 5
Substituo
na solução geral. Assim a solução da PVI é
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas bom para prova): calcule
para confirmar que a EDO é satisfeita. Com
,
E
Somando,
portanto a solução confere com a EDO. Também a condição
é satisfeita porque
.
Resposta
c.