Exercício 26 Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
S : interseção dos cilindros maciços x^{2}+y^{2}=2 x e(x-1)^{2}+z^{2}=2 z.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados os dois cilindros maciços (interpreto como as regiões internas aos cilindros): x^{2}+y^{2}\le 2xe (x-1)^{2}+z^{2}\le 2z.(No enunciado as equações estavam com ``=’’. Como se trata de cilindros maciços, tomamos as desigualdades que definem os sólidos interiores.)
  • O enunciado pede:
    1. Calcular o volume da interseção S desses dois sólidos (ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades).
    2. Fazer a representação gráfica (descrever/explicar como representar graficamente o sólido).
Informações relevantes extraídas:
  • Ambas as equações são círculos quando fixada uma coordenada (são cilindros cujas direções de eixo podem ser identificadas).
  • As duas equações envolvem x com quadrados completos próximas de x-1; é natural completar quadrados e fazer um deslocamento de coordenadas para simplificar.

Passo 2

Transformação das equações para identificar centros, raios e eixos dos cilindros (aulas rápidas sobre completar quadrados).
Primeiro, completar o quadrado em x^{2}+y^{2}=2x. Reescrevendo:
x^{2}-2x+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Isto mostra que o primeiro cilindro é o conjunto de pontos cuja projeção no plano xy é o disco de centro (1,0) e raio 1. Como a equação não envolve z, o eixo desse cilindro é paralelo ao eixo z.
Agora a segunda:
(x-1)^{2}+z^{2}=2z \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+z^{2}-2z=0
completar quadrado em z:
(x-1)^{2}+(z-1)^{2}=1.
Isto mostra que o segundo cilindro tem projeção no plano xz sendo o disco de centro (1,1) (em coordenadas (x,z)) e raio 1; como a equação não envolve y, o eixo desse cilindro é paralelo ao eixo y.
Observação útil: ambos os cilindros têm raio 1 e seus eixos se cruzam ortogonalmente no ponto (1,0,1). Para simplificar os cálculos, fazemos um deslocamento de coordenadas (mudar a origem para (1,0,1)):
Defina
u = x-1,\qquad v = y,\qquad w = z-1.
Em (u,v,w) a interseção S é dada por
u^{2}+v^{2}\le 1
e
u^{2}+w^{2}\le 1.
Explicação didática: com esse deslocamento cada cilindro fica centrado de forma simétrica em torno do eixo, facilitando a integração — agora a simetria é em relação à origem (u,v,w)=(0,0,0).

Passo 3

Entender a geometria da região em coordenadas (u,v,w) e escolher método de cálculo (aula sobre método das fatias/Cavalieri).
  • A condição u^{2}+v^{2}\le 1 define um cilindro de raio 1 com eixo ao longo do eixo w.
  • A condição u^{2}+w^{2}\le 1 define um cilindro de raio 1 com eixo ao longo do eixo v.
  • A região de interseção é simétrica em relação ao plano u=0 e também simétrica trocando v por w.
Método escolhido: integrar por fatias na variável u. Para cada valor fixo de u com -1\le u\le 1, vamos determinar a secção transversal da região S perpendicular ao eixo u. Aula rápida: o volume pode ser obtido por
\text{Volume}=\int_{u_{\min}}^{u_{\max}} \text{Área da secção perpendicular a }u\; du.Áçã
Para um u fixo, as desigualdades tornam-se:
v^{2}\le 1-u^{2}\quad\text{e}\quad w^{2}\le 1-u^{2}.
Isto significa que, para esse u, v varia em
- \sqrt{1-u^{2}}\le v\le \sqrt{1-u^{2}}
e w varia em
- \sqrt{1-u^{2}}\le w\le \sqrt{1-u^{2}}.
Como as condições em v e w são independentes (quando u é fixo), a secção transversal é um retângulo no plano (v,w) com lados 2\sqrt{1-u^{2}} por 2\sqrt{1-u^{2}}. Logo a área da secção é
A(u)=\bigl(2\sqrt{1-u^{2}}\bigr)\cdot\bigl(2\sqrt{1-u^{2}}\bigr)=4\bigl(1-u^{2}\bigr).
Comentário didático: essa observação é crucial — em muitas interseções de cilindros perpendiculares a secção transversal para um eixo é um quadrado cuja aresta depende de u. Essa é a mesma ideia do sólido de Steinmetz clássico.

Passo 4

Calcular o volume integrando A(u) de -1 até 1.
Escrevendo integral:
V=\int_{-1}^{1} A(u)\,du=\int_{-1}^{1} 4\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.
Agora calcular passo a passo a integral (aula rápida de integrais polinomiais):
  • Integral de 1 em u é u.
  • Integral de u^{2} é u^{3}/3.
Assim
V=4\left[ u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}.
Avaliar nos limites:
\left[ u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1-\frac{-1}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Multiplicando pelo fator 4:
V=4\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{3}.
Interpretação: o volume da interseção é \dfrac{16}{3} (unidades de volume correspondentes às unidades do eixo usado).

Passo 5

Representação gráfica (como desenhar/visualizar o sólido — instruções passo a passo e dicas para a prova).
  • Em coordenadas originais (x,y,z):
    • O primeiro cilindro é (x-1)^{2}+y^{2}=1, eixo paralelo a z, centro do círculo no plano xy em (1,0).
    • O segundo cilindro é (x-1)^{2}+(z-1)^{2}=1, eixo paralelo a y, centro do círculo no plano xz em (1,1).
    • Ambos cruzam-se ortogonalmente e seus eixos se cruzam no ponto (1,0,1).
  • Como desenhar rápido:
    1. Desenhe um ponto (1,0,1) como referência (ou simplesmente imagine deslocar a origem para esse ponto).
    2. Desenhe um cilindro vertical (eixo z) com centro do círculo em (1,0) no plano xy e raio 1.
    3. Desenhe um cilindro horizontal (eixo y) com centro do círculo em (1,1) no plano xz e raio 1.
    4. A região de interseção tem formato “cruzado”: nas secções por planos paralelos a v- w (após deslocamento) aparecem quadrados; nas projeções a interseção projeta-se como o disco comum na direção do eixo u.
  • Observação visual: após o deslocamento u=x-1, v=y, w=z-1 o sólido equivale ao caso padrão de interseção de dois cilindros de raio 1 com eixos perpendiculares que se cruzam no centro — esse é um sólido de Steinmetz clássico, cuja secção central é um quadrado de lado 2.
Dica para a prova: desenhe sempre os discos que definem cada cilindro na projeção adequada (plano xy para o cilindro paralelo a z, plano xz para o cilindro paralelo a y), depois faça o deslocamento de coordenadas para centralizar e use integração por fatias na direção da coordenada comum (aqui u). Isso reduz o problema ao cálculo da área de um quadrado dependente de u e à integral polinomial simples.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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