Exercício 26 Calcule o volume dos sólidos dados. Faça a representação gráfica.
: interseção dos cilindros maciços
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado fornece e o que pede.
- Dados os dois cilindros maciços (interpreto como as regiões internas aos cilindros):
e (No enunciado as equações estavam com ``=’’. Como se trata de cilindros maciços, tomamos as desigualdades que definem os sólidos interiores.) - O enunciado pede:
- Calcular o volume da interseção
desses dois sólidos (ou seja, o conjunto de pontos que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades). - Fazer a representação gráfica (descrever/explicar como representar graficamente o sólido).
- Calcular o volume da interseção
Informações relevantes extraídas:
- Ambas as equações são círculos quando fixada uma coordenada (são cilindros cujas direções de eixo podem ser identificadas).
- As duas equações envolvem
com quadrados completos próximas de ; é natural completar quadrados e fazer um deslocamento de coordenadas para simplificar.
Passo 2
Transformação das equações para identificar centros, raios e eixos dos cilindros (aulas rápidas sobre completar quadrados).
Primeiro, completar o quadrado em
. Reescrevendo:
Isto mostra que o primeiro cilindro é o conjunto de pontos cuja projeção no plano
é o disco de centro
e raio
. Como a equação não envolve
, o eixo desse cilindro é paralelo ao eixo
.
Agora a segunda:
completar quadrado em
:
Isto mostra que o segundo cilindro tem projeção no plano
sendo o disco de centro
(em coordenadas
) e raio
; como a equação não envolve
, o eixo desse cilindro é paralelo ao eixo
.
Observação útil: ambos os cilindros têm raio
e seus eixos se cruzam ortogonalmente no ponto
. Para simplificar os cálculos, fazemos um deslocamento de coordenadas (mudar a origem para
):
Defina
Em
a interseção
é dada por
e
Explicação didática: com esse deslocamento cada cilindro fica centrado de forma simétrica em torno do eixo, facilitando a integração — agora a simetria é em relação à origem
.
Passo 3
Entender a geometria da região em coordenadas
e escolher método de cálculo (aula sobre método das fatias/Cavalieri).
- A condição
define um cilindro de raio com eixo ao longo do eixo . - A condição
define um cilindro de raio com eixo ao longo do eixo . - A região de interseção é simétrica em relação ao plano
e também simétrica trocando por .
Método escolhido: integrar por fatias na variável
. Para cada valor fixo de
com
, vamos determinar a secção transversal da região
perpendicular ao eixo
. Aula rápida: o volume pode ser obtido por
Para um
fixo, as desigualdades tornam-se:
Isto significa que, para esse
,
varia em
e
varia em
Como as condições em
e
são independentes (quando
é fixo), a secção transversal é um retângulo no plano
com lados
por
. Logo a área da secção é
Comentário didático: essa observação é crucial — em muitas interseções de cilindros perpendiculares a secção transversal para um eixo é um quadrado cuja aresta depende de
. Essa é a mesma ideia do sólido de Steinmetz clássico.
Passo 4
Calcular o volume integrando
de
até
.
Escrevendo integral:
Agora calcular passo a passo a integral (aula rápida de integrais polinomiais):
- Integral de
em é . - Integral de
é .
Assim
Avaliar nos limites:
Multiplicando pelo fator
:
Interpretação: o volume da interseção é
(unidades de volume correspondentes às unidades do eixo usado).
Passo 5
Representação gráfica (como desenhar/visualizar o sólido — instruções passo a passo e dicas para a prova).
- Em coordenadas originais
: - O primeiro cilindro é
, eixo paralelo a , centro do círculo no plano em . - O segundo cilindro é
, eixo paralelo a , centro do círculo no plano em . - Ambos cruzam-se ortogonalmente e seus eixos se cruzam no ponto
.
- O primeiro cilindro é
- Como desenhar rápido:
- Desenhe um ponto
como referência (ou simplesmente imagine deslocar a origem para esse ponto). - Desenhe um cilindro vertical (eixo
) com centro do círculo em no plano e raio . - Desenhe um cilindro horizontal (eixo
) com centro do círculo em no plano e raio . - A região de interseção tem formato “cruzado”: nas secções por planos paralelos a
- (após deslocamento) aparecem quadrados; nas projeções a interseção projeta-se como o disco comum na direção do eixo .
- Desenhe um ponto
- Observação visual: após o deslocamento
, , o sólido equivale ao caso padrão de interseção de dois cilindros de raio com eixos perpendiculares que se cruzam no centro — esse é um sólido de Steinmetz clássico, cuja secção central é um quadrado de lado .
Dica para a prova: desenhe sempre os discos que definem cada cilindro na projeção adequada (plano
para o cilindro paralelo a
, plano
para o cilindro paralelo a
), depois faça o deslocamento de coordenadas para centralizar e use integração por fatias na direção da coordenada comum (aqui
). Isso reduz o problema ao cálculo da área de um quadrado dependente de
e à integral polinomial simples.